Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

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Enunciado

Determine o vetor gradiente da função

f x , y =   x 2 + 3 x y

Passo 1

Oiee! Tudo certinho? Vamos começar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y =   f x ,   f y

Vou usar essa segunda notação aqui, mas você pode escrever como achar melhor 😊

Passo 2

Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais!

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 x + 3 x y x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = x 2 x + 3 y x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 x + 3 y ⋅ 1

f x = 2 x + 3 y

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação a y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 y + 3 x y y

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f y = x 2 1 x + 3 x y y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 ⋅ ( 0 ) + 3 x ⋅ 1

f y = 0 + 3 x ⋅ ( 1 )

f y = 3 x

Passo 4

Então nosso vetor gradiente que é da forma ∇ f x , y =   f x ,   f y

Fica assim

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Resposta

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x