Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

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Enunciado

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, fica a sua escolha

Passo 2

Primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

O que a gente vai fazer é passar o 3 z pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x y z x + x 3 x + y 3 x + z 3 x - 3 z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = y z x x + x 3 x + y 3 1 x + z 3 1 x - 3 z 1 x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = y z ( 1 ) + 3 x 2 + y 3 ( 0 ) + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

Então temos que

f x = y z + 3 x 2

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x y z y + x 3 y + y 3 y + z 3 y - 3 z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x z y y + x 3 ( 1 ) y + y 3 y + z 3 ( 1 ) y - 3 z ( 1 ) y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x z ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + 3 y 2 + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

f y = x z + 0 + 3 y 2 + 0 - 0

f y = x z + 3 y 2

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

f z = x y z z + x 3 z + y 3 z + z 3 z - 3 z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x y z z + x 3 ( 1 ) z + y 3 1 z + z 3 z - 3 z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x y ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + y 3 ( 0 ) + 3 z 2 - 3 ( 1 )

f z = x y + 0 + 0 + 3 z 2 - 3

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = y z + 3 x 2

f y = x z + 3 y 2

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Temos que

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Resposta

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3