Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Teoria

Enunciado

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, você que escolhe 😊

Passo 2

A primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

O que a gente vai fazer é passar o x pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 4 x + y 2 9 x - z 2 x - x x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 1 4 x 2 x + y 2 9 1 x - z 2 1 x - x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 1 4 2 x + y 2 9 0 - z 2 ( 0 ) - ( 1 )

Podemos simplificar esse 2 x com 4 e ficamos com

f x = x 2 + 0 - 0 - 1

f x = x 2 - 1

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 4 y + y 2 9 y - z 2 y - x y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x 2 4 1 y + 1 9 y 2 y - z 2 1 y - x 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 4 ( 0 ) + 1 9 2 y - z 2 ( 0 ) - x ( 0 )

f y = 0 + 2 y 9 - 0 - 0

f y = 2 y 9

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

f z = x 2 4 z + y 2 9 z - z 2 z - x z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x 2 4 1 z + y 2 9 1 z - z 2 z - x   1 z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x 2 4 ( 0 ) + y 2 9 ( 0 ) - 2 z - x   ( 0 )

f z = 0 + 0 - 2 z + 0

f z = - 2 z  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = x 2 - 1

f y = 2 y 9

f z = - 2 z  

Temos que

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z