Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

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Enunciado

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

Passo 1

Olaaa! Belezinha? Vamos continuar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas é bom se familiarizar com as duas opções porque pode aparecer qualquer um dos casos

Passo 2

Então agora vamos precisar fazer 3 derivadas parciais, mas não se preocupa que vai dar bom hehe

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = 2 x x + 4 x y x + x z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 2 x x + 4 y x x + z x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 ⋅ 1 + 4 y 1 + z ( 1 )

f x = 2 + 4 y + z

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = 2 x y + 4 x y y + x z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = 2 x 1 y + 4 x y y + x z 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = 2 x 0 + 4 x ( 1 ) + x z ( 0 )

f y = 0 + 4 x + 0

f y = 4 x

Passo 4

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

f z = 2 x z + 4 x y z + x z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = 2 x 1 z + 4 x y 1 z + x z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = 2 x 0 + 4 x y ( 0 ) + x ( 1 )

f z = 0 + 0 + x

f z = x

Passo 5

Ufa! Conseguimos uhul

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = 2 + 4 y + z

f y = 4 x

f z = x

Temos que

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x