Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Teoria

Enunciado

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 1

E aiii! Vamos continuar nosso estudo?

A nossa questão pede, na letra a ) , que a gente ache a direção na qual a taxa de variação no ponto P é máxima, para isso a gente precisa calcular o nosso vetor gradiente no ponto P

A gente já viu que o vetor gradiente é desse jeitão aqui

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou pode ser escrito assim

∇ f x , y = f x , f y

Passo 2

Show, vamos começar calculando esse vetor gradiente, temos que a nossa função é

f x , y = x 2 + y 2 - y  

Vamos calcular

f x   e   f y

A gente calcula f x fazendo a derivada em relação a x , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então temos:

f x = ∂ ( x 2 + y 2 - y ) ∂ x

Como y 2 - y é considerado uma constante aqui, podemos dizer que

f x = 2 x

Passo 3

Beleza, agora vamos partir pra cima do f y

A gente calcula f y fazendo a derivada em relação a y , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então ficamos com

f y = ∂ ( x 2 + y 2 - y ) ∂ y

Como x 2 é considerado uma constante aqui, podemos dizer que

f y = 2 y - 1

Tranquilinho?

Passo 4

Agora que achamos f x   e f y , temos que o nosso vetor gradiente que é escrito assim

∇ f x , y = f x , f y

Vale

∇ f x , y = 2 x , 2 y - 1

Mas ele não quer só o vetor gradiente, ele quer o vetor gradiente no ponto P , que é ninguém mais ninguém menos que

P = ( 1,1 )

Que ele deu no enunciado, ou seja ele quer isso aqui

∇ f 1,1

E para isso é só substituirmos x = 1 e y = 1 no nosso vetor gradiente

∇ f 1 , 1 = 2 ( 1 ) , 2 ( 1 ) - 1

∇ f 1,1 = 2,1

Que é a mesma coisa que dizer:

∇ f P = 2,1

Passo 5

Vamos partir pra letra b), que pede o valor dessa taxa de varação máxima

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, ou seja,

∇ f x , y = f x 2 + f y 2

Então, como já achamos que temos que

∇ f P = ( 2,1 )

∇ f P = 2,1 = 2 2 + 1 2 = 5

Resposta

a) Na direção do vetor 2 ,   1 .

b) A taxa máxima é 5 .