36) Calcule

Onde

e é a semicircunferência , com , orientada de a .

Repare que ele é um pouco complicado para resolver de uma forma direta, principalmente em cima de um pedaço de circunferência. Então calculemos a subtração

Calculando a segunda derivada...

Vamos ter, portanto:

Epa!!! Esse cara deu !

Esse resultado sugere o teorema de Green, no entanto, como o resultado foi e o campo não tem problema de definição, isso significa que o resultado independe do caminho e por isso que vamos escolher aqui o terceiro caminho: Com funções potenciais !

Sabemos que esse campo tem uma função potencial, pois essa subtração famosa deu e além disso o campo não tem problema de definição. Então, vamos agora buscar essa tal função pela definição de função potencial:

Como o gradiente de é:

Onde tiramos duas igualdades:

Com a segunda igualdade, que parece ser menos trabalhosa, calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função ...

Porém repare que apareceu uma função que depende somente de ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante , logo... Na integral ela reaparece, sacou?

Calculando essa integral com relação à ...

Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função . Façamos isso utilizando a primeira igualdade...

Derivando a função que determinamos acima em relação à então...

Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois só depende de ...

Derivando...

E agora comparando com a igualdade número ...

Integrando de ambos os lados...

Então a função potencial finalmente é

Para matar charada, antes apenas lembre que com uma função potencial em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial e o ponto final , pois...

Então...

A curva está saindo do ponto até o ponto

Como...

e é...

Então...