Calcule o trabalho realizado pela força F x , y , z = 5 e x 2 + y 2 z , 2 x y z ,   x y 2 + cos ⁡ z 2 , para deslocar uma partícula ao longo da curva γ parametrizada por r t = 1 + s e n t s e n t , t , 1 + s e n t cos ⁡ t com t ∈ 0,2 π .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada um vetor força F descrito por F x , y , z = 5 e x 2 + y 2 z , 2 x y z ,   x y 2 + cos ⁡ z 2 . E com base nesse vetor, temos que calcular o trabalho realizado ao longo de uma curva γ parametrizada dada por r t = 1 + s e n t s e n t , t , 1 + s e n t cos ⁡ t com t ∈ 0,2 π .

E aí? Como podemos começar nosso probleminha? 🤔🤔

Nessa questão temos que usar nossos conhecimentos milenares de integrais de linha. Como no enunciado ficou explicito que temos que obter o trabalho realizado por uma força, a formulinha que usamos nesse caso é

W = ∫ a b F r t · r ' t d t

Como o enunciado foi bonzinho, já temos a curva parametrizada.

O que precisamos verificar é se o campo F é conservativo. Pra isso a gente verifica se R o t F = 0 .

Preparado? Bora começar! 😁

Passo 2

O rotacional de um campo é obtido pela formulinha

R o t F = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

F 1 , F 2 e F 3 são as coordenadas de F , no caso

F 1 = 5 e x 2 + y 2 z F 2 = 2 x y z F 3 =   x y 2 + cos ⁡ z 2

Com isso, o rotacional é calculado como

R o t F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Vemos que precisamos derivar F 1 com relação a y e z , F 2 com relação x e z e F 3 com relação a x e y .

Calculando as derivadas de F 1 pelo método da derivação polinomial.

∂ F 1 ∂ y = ∂ 5 e x 2 + y 2 z ∂ y = 2 y 2 - 1 z

∂ F 1 ∂ z = ∂ 5 e x 2 + y 2 z ∂ z = y 2 z 1 - 1

Resultamos em

∂ F 1 ∂ y = 2 y z

∂ F 1 ∂ z = y 2

Calculando as derivadas de F 2 também pelo método da derivação polinomial.

∂ F 2 ∂ x = ∂ 2 x y z ∂ x = 2 x 1 - 1 y z

∂ F 2 ∂ z = ∂ 2 x y z ∂ z = 2 x y z 1 - 1

Com isso, temos

∂ F 2 ∂ x = 2 y z

∂ F 2 ∂ z = 2 x y

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Por fim, vamos calcular as derivadas de F 3 pelo mesmo método das anteriores

∂ F 3 ∂ x = ∂ x y 2 + cos ⁡ z 2 ∂ x = x 1 - 1 y 2

∂ F 3 ∂ y = ∂ x y 2 + cos ⁡ z 2 ∂ y = x 2 y 2 - 1

Ou seja, nossas derivadas em F 3 vão ser

∂ F 3 ∂ x = y 2

∂ F 3 ∂ y = 2 x y

Montando nosso rotacional com os resultados que obtemos

R o t F = 2 x y - 2 x y î + y 2 - y 2 j ^ + 2 y z - 2 y z k ^

R o t F = 0 î + 0 j ^ + 0 k ^

Com isso, vemos que o campo F é conservativo, ou seja, o trabalho independe do caminho, apenas do ponto final e o ponto inicial.

Podemos usar essa informação ao nosso favor!

Entendeu essa parte?

Passo 4

Como o caminho não importa, podemos usar qualquer um.

Calculando a posição inicial r t quando t = 0 , temos

  r 0 = 1 + s e n 0 s e n 0 , 0 , 1 + s e n 0 cos ⁡ 0

r 0 = 0 , 0 , 1

Agora para a posição final quando t = 2 π

r 2 π = 1 + s e n 2 π s e n 2 π , 2 π , 1 + s e n 2 π cos ⁡ 2 π

r 2 π = 0 , 2 π , 1

Analisando a variação de r 0 e r 2 π , podemos traçar um vetor entre o ponto inicial e o ponto final.

r t = 0 , t , 1

Como na integral do trabalho precisamos da derivada de r t , vamos ver como fica.

r ' t = 0 , t 1 - 1 , 0

r ' t = 0,1 , 0

Por último, precisamos calcular F r t , lembrando que agora nosso r t é 0 , t , 1 que acabamos de calcular.

Substituindo x por 0 , y por t e z por 1 , vamos obter

F r t = 5 e 0 2 + t 2 1 , 2 0 t 1 ,   0 t 2 + cos ⁡ 1 2

Simplificando o resultado

F r t = 5 e + t 2 , 0 , cos ⁡ 1

Substituindo F r t e r ' t na nossa integral, temos

W = ∫ 0 2 π 5 e + t 2 , 0 , cos ⁡ 1 · 0,1 , 0 d t

Calculando o produto interno de F r t e r ' t

5 e + t 2 , 0 , cos ⁡ 1 · 0,1 , 0 = 5 e + t 2 0 + 0 1 + cos ⁡ 1 0 = 0

Com isso, temos

W = ∫ 0 2 π 0 d t

Como sabemos, a integral de 0 é 0 ! Logo

W = ∫ 0 2 π F r t · r ' t d t = 0

Logo o trabalho realizado pela força é 0 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

W = 0

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