UFRJ. Cálculo 3. P2. 2022.1. Questão 4.
Calcule o trabalho realizado pela força , para deslocar uma partícula ao longo da curva parametrizada por com .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão foi dada um vetor força descrito por . E com base nesse vetor, temos que calcular o trabalho realizado ao longo de uma curva parametrizada dada por com .
E aí? Como podemos começar nosso probleminha? 🤔🤔
Nessa questão temos que usar nossos conhecimentos milenares de integrais de linha. Como no enunciado ficou explicito que temos que obter o trabalho realizado por uma força, a formulinha que usamos nesse caso é
Como o enunciado foi bonzinho, já temos a curva parametrizada.
O que precisamos verificar é se o campo é conservativo. Pra isso a gente verifica se .
Preparado? Bora começar! 😁
Passo 2
O rotacional de um campo é obtido pela formulinha
, e são as coordenadas de , no caso
Com isso, o rotacional é calculado como
Vemos que precisamos derivar com relação a e , com relação e e com relação a e .
Calculando as derivadas de pelo método da derivação polinomial.
Resultamos em
Calculando as derivadas de também pelo método da derivação polinomial.
Com isso, temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Por fim, vamos calcular as derivadas de pelo mesmo método das anteriores
Ou seja, nossas derivadas em vão ser
Montando nosso rotacional com os resultados que obtemos
Com isso, vemos que o campo é conservativo, ou seja, o trabalho independe do caminho, apenas do ponto final e o ponto inicial.
Podemos usar essa informação ao nosso favor!
Entendeu essa parte?
Passo 4
Como o caminho não importa, podemos usar qualquer um.
Calculando a posição inicial quando , temos
Agora para a posição final quando
Analisando a variação de e , podemos traçar um vetor entre o ponto inicial e o ponto final.
Como na integral do trabalho precisamos da derivada de , vamos ver como fica.
Por último, precisamos calcular , lembrando que agora nosso é que acabamos de calcular.
Substituindo por , por e por , vamos obter
Simplificando o resultado
Substituindo e na nossa integral, temos
Calculando o produto interno de e
Com isso, temos
Como sabemos, a integral de é ! Logo
Logo o trabalho realizado pela força é .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍