Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 35
(Cap.16.3 - Exercício 35) Seja
(a) Mostre que .
(b) Mostre que não é independente do caminho. [Dica: Calcule e onde e são as metades superior e inferior do círculo de a .] Isso contradiz o Teorema ?
Passo 1
Oiii gente linda, tudo bem?
Bom gente, para resolver nossa questão devemos primeiro começar resolvendo as derivadas parciais. Em seguida, temos que lembrar de um detalhe, para que a integral de linha não dependa do caminho é necessário que e por fim, devemos lembrar o que nos diz o teorema 6.
Agora vamos de fato para a resolução...
Passo 2
(a) Calculando as derivadas parciais onde:
Primeiro a derivada de em relação a
E agora de em relação a
Temos que:
Passo 3
- Sabe-se que para a integral de linha que independe do caminho, temos que
Se pegarmos um círculo fechado e calcularmos a integral, sem obter zero, provamos que a integral depende do caminho.
Pegando a circunferência unitária como e parametrizando da forma:
Temos que
Passo 4
Calculando e
Substituindo na integral, temos:
Então, conclui-se que a integral de linha de depende do caminho e não é conservativo.
Isso não vai contradizer o teorema 6, pois o domínio de não contém a origem e a circunferência centrada na origem não pode ser colocada em uma região simplesmente conexa que contenha , fazendo com que não possamos usar o teorema e de fato a função não é conservativa.
Bora fazer mais problemas?!
Bons Estudos!
Resposta
Resolução nos passos acima :)