Considere o campo onde é uma função de classe
a) Mostre que, para qualquer escolha de o trabalho do campo ao longo do segmento indo do ponto ao ponto vale
b)Determine todas as escolhas de para as quais o campo é conservativo, e encontre um potencial para nesse caso.
c) Supondo conservativo, calcule o trabalho de ao longo do arco da curva indo do ponto ao ponto .
Passo 1
Letra a)
O trabalho de um campo ao longo de uma curva é a integral de linha desse campo
No nosso caso a nossa curva será um segmento de reta parametrizado por
Para calcular uma integral de linha temos a fórmula
Esse é a aplicação da parametrização da curva aplicada no campo. Lembrando que a , ao aplicar a parametrização ficamos com:
Falta calcular a derivada da minha parametrização:
Substituindo o que a gente tem na integral:
Fazendo a multiplicaão escalar ficamos com:
Passo 2
Letra b)
Uma das condições para termos campo conservativo é ele ser irrotacional, ou seja:
Substituindo para a função do problema, sendo e
e
Temos que ter então:
Vamos agora integrar com relação a
Separando em duas integrais:
A primeira integral:
A segunda é necessário fazer integração por partes
Vamos ter então que que a nossa função tem que ser:
Não esqueca da constante que aparece por conta da integral indefinida que usamos.
Passo 3
Passo 4
Para encontramos um potencial associado a um campo conservativo fazemos:
Onde (nabla) é o operador diferencial:
Temos então o seguinte:
Vamos igualar agora cada termo:
Para o primeiro termo vamos integrar somente com relação a e considerar o que for só função de como constante:
OBS.: Esse aparece porque quando temos a derivada parcial, consideramos tudo que estiver em função de constante.
Para o outro termo vamos integrar somente com relação a e considerar como constante
Separadando essa integral em duas:
A primeira temos:
Para a segunda vamos fazer integral por partes:
Comparando as duas que achamos:
Vamos ter que a a nossa função será somente
Não esqueça da constante porque se trata de uma família de funções de
Passo 5
Letra c)
Como a questão pediu que considerássemos um campo conservativo, vale que a integral de linha desse campo é igual ao potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial. Isso vai facilitar bastante a nossa vida!!
Usando a função potencial que encontramos anteriormente
Vamos ter então: