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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 22d

22. Decida se o campo vetorial F dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F .

d) F x , y = 2 x . sin ⁡ y + 4 . e x , cos ⁡ y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos saber se o campo F x , y = 2 x . sin ⁡ y + 4 . e x , cos ⁡ y é conservativo e também queremos calcular a função potencial f desse campo.

Lembra como fazemos isso? 😉

Primeiramente, para descobrir se F é um campo conservativo, temos que analisar se F está definida em todo o espaço e tambem verificar se o rotacional de F é nulo.

Já para obter a função vetorial, caso o campo F seja conservativo, temos que saber que

F = ∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

E a partir daí podemos montar nossa função integrando essa equação...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se F x , y = 2 x . sin ⁡ y + 4 . e x , cos ⁡ y vamos começar calculando seu rotacional

R o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k

Substituindo nossa função, temos que

R o t F = ∂ 0 ∂ y - ∂ cos ⁡ y ∂ z i + ∂ 2 x sin ⁡ y + 4 e x ∂ z - ∂ 0 ∂ x j + ∂ cos ⁡ y ∂ x - ∂ 2 x sin ⁡ y + 4 e x ∂ y k

R o t F = 0 - 0 i + 0 - 0 j + 0 - 2 x cos ⁡ y k

R o t F = - 2 x cos ⁡ y k →

Como o rotacional é diferente de 0 , então nosso campo F não é conservativo!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

F não é conservativo

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