Seja o campo vertorial
a) Sem calcular potenciais, determine se o campo é conservativo
b) Caso seja conservativo, determine seus potenciais
c) Calcule onde é o arco da curva de até
Passo 1
Letra a)
Para um campo ser conservativo ele precisa:
1) Estar bem definido no seu domínio, ou seja, não ter indeterminações tipo divisão por zero, raiz de número negativo, etc.
2) Ser irrotacional
Passo 2
Olhando para o nosso campo, podemos ver que que ele não possui indeterminações então nossa primeira condição está satisfeita
Falta agora ver se ele é irrotacional. Vamos calcular seu rotacional e se der igual a 0, ele é irrotacional
O rotacional no é definido como:
Temos que para o nosso exercício:
Então nossas parciais serão:
Substituindo no rotacional
Como as nossas duas condições foram satisfeitas, temos que o nosso campo é conservativo
Passo 3
Letra b)
Para encontramos um potencial associado a um campo conservativo fazemos:
Onde (nabla) é o operador diferencial:
Temos então o seguinte:
Vamos igualar agora cada termo:
Para o primeiro termo vamos integrar somente com relação a e considerar a outra variável como constante:
OBS.: Esse aparece porque quando temos a derivada parcial, consideramos tudo que estiver em função de seja constante.
Resolvendo uma a uma:
Para a última integral devemos resolve-la por partes:
Ficamos então com:
O segundo termo é análogo ao primeiro mudando somente que agora onde tinha teremos e vice e versa
Comparando as duas que achamos perceba que e que é exatamente o que falta em cada para resultarem:
Para finalizar só falta adicionarmos a nossa potencial uma constante pois temos uma família de potenciais
Passo 4
Letra c)
Como temos um campo conservativo, vale que a integral de linha desse campo é igual ao potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial. Olha que legal, podemos ignorar a curva .
Vamos ter então:
Resposta
a) O campo é conservativo
b)
c)