Sejam os campos vetoriais definidos como:
Decida, justificando, se cada um dos campos é conservativo ou não.
Passo 1
Para determinar se o campo é conservativo vamos analisar o rotacional de cada um deles. Lembre-se que, se o rotacional for diferente de zero, o campo com certeza não é conservativo. Caso contrário teremos que analisar mais.
O rotacional pode ser calculado por
Passo 2
Vamos então calcular o rotacional de , primeiro derivamos em função de , considerando constante:
Vamos ter que usar a regra do produto nessa derivada aqui, fica assim:
Agora derivando em relação a , considerando constante:
Também aplicando a regra do produto aqui:
Portanto, como as duas derivadas são iguais, nosso rotacional fica igual a zero!
Como nosso campo é contínuo em todos os pontos (não temos nenhuma singularidade) e o seu rotacional é zero, podemos afirmar que o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos fazer o cálculo do rotacional de agora! Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Logo o rotacional vai ser:
Com isso pode-se concluir que não é um campo conservativo!
Passo 4
Vamos ao cálculo do rotacional de . O enunciado nos diz que
Só que já calculamos o rotacional de e de , não vamos precisar calcular tudo de novo. Isso porque o rotacional possui uma propriedade aditiva, assim como as derivadas! O que isso quer dizer? Quer dizer que a derivada da soma de duas funções é igual a soma das derivadas!
Em outras palavras, é isso aqui:
O interessante é que, como rotacional é calculado por meio de derivadas, ele também possui essa propriedade! Ou seja:
Podemos então só usar os resultados obtidos nos passos anteriores:
Portanto, como o rotacional é diferente de zero, o campo não é conservativo!
Resposta
é conservativo
não é conservativo
não é conservativo