Enunciado

Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,   B 0 , - 3,0   e   C ( 0,0 , 3 ) .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Olha só, a distância de um ponto a um plano é dada por uma formulazinha bem legal...

Seja o ponto P   x 0 ,   y 0 , z 0 e o plano π : a x + b y + c z + d , a distância d ( P , π ) é dada por:

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Beleza? A gente precisa então da equação geral do plano pra calcular a distância...

Bora lá!

Passo 2

Calculando os vetores:

A B → = ( - 3 , - 3,0 )

A C → = ( - 3,0 , 3 )

Esses dois vetores são paralelos ao plano, pra acharmos um vetor normal, vamos fazer o produto vetorial...

d e t i → j → k → - 3 - 3 0 - 3 0 3 = i → - 3 0 0 3 - j → - 3 0 - 3 3 + k → - 3 - 3 - 3 0

= i →   - 9 - j →   - 9 + k → ( - 9 )

= - 9 i → + 9 j → - 9 k →

Um vetor normal então é:

( - 9,9 , - 9 )

Passo 3

Nosso plano então é da forma:

- 9 x + 9 y - 9 z + d = 0

Pra achar esse d , vamos substituir o ponto A ( 3,0 , 0 ) nele:

- 9 3 + 9 0 - 9 0 + d = 0

d = 27

Nosso plano então é:

- 9 x + 9 y - 9 z + 27 = 0

x - y + z - 3 = 0

Show de bola! Vamos usar a fórmula agora pra achar a distância do ponto D até esse plano...

Passo 4

Temos π : x - y + z - 3 = 0 e D ( 2,5 , 2 ) , jogando na fórmula que eu mostrei lá em cima...

d D ,   π = 1 2 - 1 5 + 1 2 - 3 1 2 + - 1 2 + 1 2  

d D ,   π = 2 - 5 + 2 - 3 3

d D ,   π = - 4 3

d D ,   π = 4 3

E prontinho! Achamos a resposta😉

Resposta

d D ,   π = 4 3

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