Enunciado

74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,   B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B , A C e A D .

Passo 1

Vamos primeiro calcular os vetores, né...

A B → = B - A

A B → = 2 , - 1 , - 4 - 1 , - 2,3

A B → = 1,1 , - 7

A C → = C - A

A C → = 0,2 , 0 - 1 , - 2,3

A C → = - 1,4 , - 3

A D → = D - A

A D → = - 1 , m , 1 - 1 , - 2,3

A D → = - 2 , m + 2 , - 2

Passo 2

Bem.. agora só precisamos fazer o produto misto dos vetores. O módulo do determinante vai ser o volume.

V = 20

1 1 - 7 - 1 4 - 3 - 2 m + 2 - 2 = 20

1 4 - 2 + 1 - 3 - 2 + - 7 - 1 m + 2 - - 2 4 - 7 - m + 2 - 3 1 - - 2 - 1 1 = 20

Uma dica para resolver o módulo é fazer:

1 4 - 2 + 1 - 3 - 2 + - 7 - 1 m + 2 - - 2 4 - 7 - m + 2 - 3 1 - - 2 - 1 1 = 20

E depois:

1 4 - 2 + 1 - 3 - 2 + - 7 - 1 m + 2 - - 2 4 - 7 - m + 2 - 3 1 - - 2 - 1 1 = - 20

Então ficamos com os valores:

m = 6 ou m = 2

Resposta

m = 6 ou m = 2

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O ponto A ( 1 , - 2,3 ) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os três vértices adjacentes são B 2 , - 1 , - 4 ,C ( 0,2 , 0 ) e D ( - 1 , m , 1 ) . Determinar o valor de m para que o volume desse p
Verificar se são coplanares os pontos: A 2,1 , 2 ,B 0,1 , - 2 ,C 1,0 , - 3e D ( 3,1 , - 2 )
Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u → = 3 , - 1,4 ,v → = 2,0 , 1 e w → = ( - 2,1 , 5 ) . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u →ev → .
Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: u → = 2 , k , 1 ,v → = 1,2 , k e w → ( 3,0 , - 3 )
Dados os pontos A 2,1 , 1 ,B - 1,0 , 1 eC ( 3,2 , - 2 ) , determinar o ponto D do eixo O z para que o volume do paralelepípedo determinado por A B → ,A C → e A D → seja 25u . v .