Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

A = 6 0 6 0 - 2 0 6 0 1

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P - 1 A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

6 - λ 0 6 0 - 2 - λ 0 6 0 1 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

6 - λ - 2 - λ 1 - λ + 6 ( 12 + 6 λ ) = 0

Logo,

- 6 - λ 2 + λ 1 - λ + 36 2 + λ = 0 ⇒ 2 + λ - λ 2 + 7 λ + 30 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = - 3 ,   λ 2 = - 2   e   λ 3 = 10

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = - 3 :

9 0 6 0 1 0 6 0 4 a b c = 0 0 0

Assim, tiramos que

b = 0         e         3 a + 2 c = 0 ⇒ c = - 3 a 2

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - 3 a 2 = a   ( 1 ,   0 ,   - 3 2 )

Para que ele seja normalizado, a = 2 / 13 :

v 1 = 2 13 , 0 ,   - 3 13

Já para o segundo autovalor λ 2 = - 2 :

8 0 6 0 0 0 6 0 3 a b c = 0 0 0

Portanto,

a = c = 0

Assim,

v 2 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Por fim, para λ 3 = 10 :

- 4 0 6 0 - 12 0 6 0 - 9 a b c = 0 0 0

Daqui, obtemos

b = 0           e       - 2 a + 3 c = 0 ⇒ a = 3 c 2

Logo,

v 3 = 3 13 ,   0 , 2 13

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 2 13 0 3 13 0 1 0 - 3 13 0 2 13

Com essa matriz,

P - 1 A P = - 3 0 0 0 - 2 0 0 0 10

Resposta

P = 2 13 0 3 13 0 1 0 - 3 13 0 2 13

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