Enunciado

Determine os vértices B , C e D de um quadrado A B C D , sabendo que A = ( 0 ,   - 19 ,   4 ) , um lado está contido no plano π 1 : 2 x - 2 y + z = 15 , outro, no plano π 2 : 2 x + y - 2 z = 0 , e o plano do quadrado é perpendicular à reta intersecção de π 1 e π 2 .

Passo 1

Bom, o primeiro passo é verificar se o ponto A pertence a um dos lados contidos nos planos π 1 e π 2 . Vemos que esse ponto não satisfaz nenhuma das equações. Com isso podemos fazer um esboço:

A reta s está contida no plano π 1 e a reta r no plano π 2 . Portanto, os pontos C e B são do tipo

( x ,   y ,   15 - 2 x + 2 y )

e os pontos C e D são do tipo

( x ,   - 2 x + 2 z ,   z )

O ponto C deve pertencer deve satisfazer as duas relações simultaneamente:

x ,   y ,   15 - 2 x + 2 y = ( x ,   - 2 x + 2 z ,   z ) ⇒ y = - 2 x + 2 z z = 15 - 2 x + 2 y

Substituindo a primeira equação na segunda:

z = 15 - 2 x - 4 x + 4 z = 15 - 6 x + 4 z ⇒ 6 x = 3 z + 15 ⇒ 2 x = z + 5 ⇒ z = 2 x - 5

Substituindo de volta na primeira equação:

y = - 2 x + 4 x - 10 = 2 x - 10

Portanto, o ponto C é do tipo

C = ( x ,   2 x - 10 ,   2 x - 5 )

Para não ficar carregando a letra x , o que pode dar muita confusão mais para frente, vamos usar a letra c :

C = ( c ,   2 c - 10 ,   2 c - 5 )

O que fizemos aqui na verdade foi achar a intersecção dos planos π 1 e π 2 , que é uma reta. O ponto C está contido nessa reta! Note que podemos abrir a equação dessa reta:

X = 0 ,   - 10 ,   - 5 + c ,   2 c ,   2 c = 0 ,   - 10 ,   - 5 + c   ( 1 ,   2 ,   2 )

Portanto, o vetor diretor dessa reta é u → = ( 1 ,   2 ,   2 ) . O enunciado também disse que esse reta é perpendicular ao plano do quadrado, que chamaremos de π nessa resolução. Sendo assim, o vetor normal ao plano do quadrado é

n → = ( 1 ,   2 ,   2 )

Passo 2

Desta forma, o vetor   A C → deve ser perpendicular ao vetor n → . Vamos achar   A C → primeiro:

A C → = C - A = c ,   2 c - 10 ,   2 c - 5 - 0 ,   - 19 ,   4 = ( c ,   2 c + 9 ,   2 c - 9 )

Portanto,

A C → ⋅ n → = c ,   2 c + 9 ,   2 c - 9 ⋅ 1 ,   2 ,   2 = 0

Assim,

c + 4 c + 18 + 4 c - 18 = 0 ⇒ c = 0

Logo,

C = ( 0 ,   - 10 ,   - 5 )

Já achamos o ponto C ! Vamos calcular a norma de   A C → para determinar a diagonal do quadrado:

A C → = 0 ,   9 ,   - 9 ⇒ d = A C → = 9 2

Como d = l 2 , obtemos o lado do quadrado:

l = 9

Passo 3

Vamos procurar agora o ponto B , que deve ser da forma

B = x ,   y ,   15 - 2 x + 2 y

Assim,

A B → = B - A = x ,   y ,   15 - 2 x + 2 y - 0 ,   - 19 ,   4 = ( x ,   y + 19 ,   11 - 2 x + 2 y )

Esse vetor está no plano do quadrado, de modo que deve ser perpendicular a n → :

1 ,   2 ,   2 ⋅ x ,   y + 19 ,   11 - 2 x + 2 y = 0

Assim,

x + 2 y + 38 + 22 - 4 x + 4 y = 0 ⇒ 3 x - 6 y = 60 ⇒ x - 2 y = 20 ⇒ x = 20 + 2 y

Portanto,

B = 20 + 2 y ,   y ,   15 - 40 - 4 y + 2 y = ( 20 + 2 y ,   y ,   - 25 - 2 y )

Logo,

A B → = ( 20 + 2 y ,   19 + y ,   - 29 - 2 y )

Sabemos que A B → = l = 9 . Desta forma,

20 + 2 y 2 + 19 + y 2 + - 29 - 2 y 2 = 9 2

Abrindo a expressão:

400 + 80 y + 4 y 2 + 361 + 38 y + y 2 + 841 + 116 y + 4 y 2 = 81

Portanto,

9 y 2 + 234 y + 1521 = 0 ⇒ y 2 + 26 y + 169 = 0 ⟹ y + 13 2 = 0 ⟹ y = - 13

Portanto, o ponto B é

B = - 6 ,   - 13 ,   1

Passo 4

Por fim, vamos atrás do ponto D :

D = x ,   - 2 x + 2 z ,   z ⇒ A D → = ( x ,   19 - 2 x + 2 z ,   - 4 + z )

Assim,

A D → ⋅ n → = 0 ⇒ x ,   19 - 2 x + 2 z ,   - 4 + z ⋅ 1 ,   2 ,   2 = 0

Logo,

x + 38 - 4 x + 4 z - 8 + 2 z = 0 ⇒ 3 x - 6 z = 30 ⇒ x - 2 z = 10 ⇒ x = 10 + 2 z

Portanto,

D = 10 + 2 z ,   - 20 - 2 z ,   z               e             A D → = ( 10 + 2 z ,   - 1 - 2 z ,   - 4 + z )

Assim, como A D → = l = 9 :

10 + 2 z 2 + - 1 - 2 z 2 + - 4 + z 2 = 9 2

Logo,

100 + 40 z + 4 z 2 + 1 + 4 z + 4 z 2 + 16 - 8 z + z 2 = 81 ⇒ 9 z 2 + 36 z + 36 = 0

Ou ainda,

z 2 + 4 z + 4 = 0 ⇒ z + 2 2 = 0 ⇒ z = - 2

Assim,

D = ( 6 ,   - 16 ,   - 2 )

Resposta

( 0 ,   - 10 ,   - 5 )

- 6 ,   - 13 ,   1

( 6 ,   - 16 ,   - 2 )

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Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do planob) 5 x - y - 1 = 0
Obtenha os pontos de r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 2 ,0 ,1 ) que pertencem ao plano π , nos casos:c) π :2 x - y - 4 z + 3 = 0
Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do planoa) 4 x + 2 y - z + 5 = 0
Mostre que o ponto P = ( 4 ,1 ,- 1 ) não pertence à reta r : X = 2 ,4 ,1 + λ ( 1 ,- 1 ,2 ) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .
Obtenha os pontos de r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 2 ,0 ,1 ) que pertencem ao plano π , nos casos:a) π : x - y - z = 0