Enunciado

Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios 9 a 18 da seção 6.3 são diagonalizáveis.

1 6 )   A = 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

A matriz da nossa transformação é:

A = 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 3 - 3 0 4 - λ 0 - 3 3 1 - λ = 0

Pela regra de Sarrus:

1 - λ 2 4 - λ - 9 4 - λ = 0

Desenvolvendo,

4 - λ λ 2 - 2 λ - 8 = 0

4 - λ λ - 4 λ + 2 = 0

Isso vai nos dar dois autovalores:

λ = 4

λ = - 2

Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 4 : v = 1 ,   1 ,   0 ,   v = - 1 ,   0 ,   1

λ = - 2 : v = ( 1 ,   0 ,   1 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos os 3 autovetores, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!

Resposta

É diagonalizável.

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