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Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la.

2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z - 10 x - 6 y - 2 z - 7 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z = x y z   a d e d b f e f c   x y z

Assim, temos que

2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z = x y z   2 - 2 - 1 - 2 2 1 - 1 1 5   x y z

Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:

2 - λ - 2 - 1 - 2 2 - λ 1 - 1 1 5 - λ = 0

Assim,

2 - λ ⋅ 2 - λ 5 - λ - 1 + 2 ⋅ - 10 + 2 λ + 1 - 1 ⋅ - 2 + 2 - λ = 0

Portanto,

2 - λ λ 2 - 7 λ + 9 + 5 λ - 18 = 0

Logo,

2 λ 2 - 14 λ + 18 - λ 3 + 7 λ 2 - 9 λ + 5 λ - 18 = 0 ⇒ λ 3 - 9 λ 2 + 18 λ = 0

Fatorando o termo λ em evidência,

λ λ 2 - 9 λ + 18 = 0 ⇒ λ λ - 3 λ - 6 = 0

Assim, os autovalores são

λ 1 = 0 ,           λ 2 = 3             e             λ 3 = 6

Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como

x ' y ' z '   0 0 0 0 3 0 0 0 6   x ' y ' z ' = 3 y ' 2 + 6 z ' 2

Passo 2

Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis x ,   y e z em termos de x ' ,   y ' e z ' .

Para λ 1 = 0 :

2 - 2 - 1 - 2 2 1 - 1 1 5 a b c = 0 0 0

Note que a primeira e segunda linha são equivalentes. Vamos descartar a segunda! Multiplicando a terceira equação por 2 e somando com a primeira, tiramos

9 c = 0 ⇒ c = 0

Substituindo isso na primeira:

2 a - 2 b = 0 ⇒ a = b

Portanto,

u 1 = a ,   b ,   c = a ,   a , 0 = a   ( 1 ,   1 ,   0 )

Para que o autovetor seja normalizado: a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 , 1 2 ,   0

Já para λ 2 = 3 :

- 1 - 2 - 1 - 2 - 1 1 - 1 1 2 a b c = 0 0 0

Note que a terceira linha é a segunda menos a primeira, de modo que não precisamos olhar para ela. Somando a primeira equação com a segunda:

- 3 a - 3 b = 0 ⇒ b = - a

Substituindo na primeira:

- a + 2 a - c = 0 ⇒ c = a

Portanto,

u 2 = a ,   b ,   c = a ,   - a ,   a = a   ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Com a = 1 / 3 , u 2 terá norma 1 :

u 2 = 1 3 , - 1 3 , 1 3

Por fim, para λ 3 = 6 :

- 4 - 2 - 1 - 2 - 4 1 - 1 1 - 1 a b c = 0 0 0

Olhando com calma, vemos que a a terceira linha é múltipla da primeira menos a segunda: podemos ignorar ela e usar apenas as duas primeiras! Somando a primeira equação com a segunda:

- 6 a - 6 b = 0 ⇒ b = - a

Substituindo isso na segunda linha:

- 2 a + 4 a + c = 0 ⇒ c = - 2 a

Logo,

u 3 = a ,   b ,   c = a ,   - a ,   - 2 a = a   ( 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 6 :

u 3 = 1 6 ,   - 1 6 , - 2 6

Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:

x y z = 1 2 1 3 1 6 1 2 - 1 3 - 1 6 0 1 3 - 2 6   x ' y ' z '

Portanto,

x = x ' 2 + y ' 3 + z ' 6

y = x ' 2 - y ' 3 - z ' 6

z = y ' 3 - 2 z ' 6

Passo 3

Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será

3 y ' 2 + 6 z ' 2 - 10 x ' 2 + y ' 3 + z ' 6 - 6 x ' 2 - y ' 3 - z ' 6 - 2 y ' 3 - 2 z ' 6 - 7 = 0

Agrupando os termos:

3 y ' 2 + 6 z ' 2 - 16 x ' 2 - 12 y ' 3 - 7 = 0

Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:

3 y ' 2 - 12 y ' 3 = 3 y ' 2 - 4 y ' 3 + 4 3 - 4 3 = 3 y ' - 2 3 2 - 4

Portanto,

3 y ' - 2 3 2 - 4 + 6 z ' 2 - 16 x ' 2 - 7 = 0

Assim,

3 y ' - 2 3 2 + 6 z ' 2 - 8 2 x ' - 11 = 0

Vamos redefinir as coordenadas:

y ' - 2 3 → Y ,           z ' → Z             e           x ' + 11 8 2 → X

Portanto, a equação fica

3 Y 2 + 6 Z 2 - 8 2 X = 0

Trata-se de uma paraboloide elíptico!

Resposta

3 Y 2 + 6 Z 2 - 8 2 X = 0

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