Enunciado

Encontre os valores de k com os quais A é invertível.

A = ([[k,-,3,-,2],[-,2,k,-,2]])

Passo 1

Para essa questão, o grande objetivo é calcular o determinante e verificar se ele é diferente de zero.

Se det (A) != 0 , a matriz é invertível. Caso contrário, ela não é invertível

Com isso, vamos achar uma equação que relacione o fator k com a condição para que seja invertível e calcular os valores para que isso aconteça.

Passo 2

Após estabelecermos a condição para que A seja invertível, vamos calcular o determinante usando o Teorema de Laplace.

A = ([[k,-,3,-,2],[-,2,k,-,2]])

det (A) = (k - 3) (k - 2) - ((- 2) (- 2))

det (A) = k^2 - 5 k + 2

Passo 3

Para acharmos um valor de k tal que a matriz A seja invertível, vamos resolver a equação para det (A) != 0

k^2 - 5 k + 2 != 0

Pela fórmula de Báskhara:

(- (- 5) +- sqrt((- 5)^2 - 4 ( 1 ) ( 2 )))/(2) -> (5 +- sqrt(25 - 8))/(2) -> [[k_1,!=,(5 + sqrt(17))/(2)],[k_2,!=,(5 - sqrt(17))/(2)]]

Resposta

Os valores de k para que a matriz seja invertível são k_1 != (5 + sqrt(17))/(2) e k_2 != (5 - sqrt(17))/(2)

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