Enunciado

Mostre que as matrizes

A = [[[a],[0]] [[b],[c]]] e B = [[[d],[0]] [[e],[f]]]

Comutam se, e só se,

[[[b],[e]] [[a - c],[d - f]]] = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar as seguintes matrizes:

A = [[[a],[0]] [[b],[c]]] e B = [[[d],[0]] [[e],[f]]]

O nosso objetivo é mostrar que as matrizes fornecidas comutam se, e somente se, respeitem a seguinte condição:

[[[b],[e]] [[a - c],[d - f]]] = 0

Lembrando que, sejam A e B duas matrizes, para que elas se comutem, temos que:

A B = B A

Portanto:

A B = [[[a],[0]] [[b],[c]]] [[[d],[0]] [[e],[f]]]

A B = [[[a d + b ( 0 )],[0 (d) + c ( 0 )]] [[a e + b f],[0 (e) + c f]]]

Logo:

A B = [[[a d],[0]] [[a e + b f],[c f]]]

Vamos calcular agora B A :

B A = [[[d],[0]] [[e],[f]]] [[[a],[0]] [[b],[c]]]

B A = [[[d a + e ( 0 )],[0 (a) + f ( 0 )]] [[d b + e c],[0 (b) + f c]]]

Logo:

B A = [[[d a],[0]] [[d b + e c],[c f]]]

Passo 2

Agora vamos supor que as duas matrizes comutem, temos que:

[[[a d],[0]] [[a e + b f],[c f]]] = [[[d a],[0]] [[d b + e c],[f c]]]

Duas matrizes são consideradas iguais se tiverem o mesmo tamanho e suas entradas forem iguais.

No caso, precisamos que:

a e + b f = d b + e c

a e - e c = d b - b f

e (a - c) = b ( d - f )

Ou:

b (d - f) - e (a - c) = 0

Esta equação pode ser expressa como:

[[[b],[e]] [[a - c],[d - f]]] = 0

Portanto, quando as matrizes fornecidas comutarem, teremos este resultado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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