Enunciado

Provar que toda combinação linear (com coeficientes em IR) das funções s e n   w t e c o s   w t   pertence ao núcleo de D 2 + w 2 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! Suponha, por absurdo, que ∃ a ,   b ∈ R , não nulos, tais que:

a × s e n   w t + b × cos ⁡ w t = 0

Sem perda de generalidade, tome a = b = 1 .

Assim,

s e n   w t + cos ⁡ w t = 0 ⇒ s e n   w t =   - cos ⁡ w t   ,

Um absurdo.

Logo, só existe solução para a = b = 0 . Portanto, s e n   ( w t ) e cos ⁡   ( w t )     pertencem ao núcleo de D 2 + w 2 .

Resposta

Assim, concluímos a prova.

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