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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - 6.6 - 11f

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 2 3 - 1 0 1 - 4 0 0 3

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

2 - λ 3 - 1 0 1 - λ - 4 0 0 3 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira coluna:

2 - λ ⋅ 1 - λ 3 - λ - 0 = 0

Assim,

( 1 - λ ) ( 2 - λ ) ( 3 - λ ) = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 1 ,   λ 2 = 2     e     λ 3 = 3

Como a dimensão da matriz é três e ela tem três autovalores distintos, A é diagonalizável!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores pela equação

A - λ I a b c = 0 0 0

Para λ 1 = 1 :

1 3 - 1 0 0 - 4 0 0 2 a b c = 0 0 0

Da segunda e terceira equações, tiramos

c = 0

Substituindo isso na primeira:

a + 3 b = 0 ⇒ a = - 3 b

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = - 3 b ,   b ,   0 = b   ( - 3 ,   1 ,   0 )

Por simplicidade, vamos escolher b = 1 :

v 1 = ( - 3 ,   1 ,   0 )

Analogamente, para λ 2 = 2 :

0 3 - 1 0 - 1 - 4 0 0 1 a b c = 0 0 0

Da terceira equação, tiramos

c = 0

Assim, da primeira e segunda, obtemos

b = 0

Portanto,

v 2 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   0 = a   ( 1 ,   0 ,   0 )

Escolhendo a = 1 :

v 2 = ( 1 ,   0 ,   0 )

Por fim, com λ 3 = 3 :

- 1 3 - 1 0 - 2 - 4 0 0 0 a b c = 0 0 0

Da segunda equação, temos

- 2 a - 4 c = 0 ⇒ a = - 2 c

Substituindo isso na primeira:

- - 2 c + 3 b - c = 0 ⇒ c = - 3 b ⇒ a = - 3 ⋅ - 2 c = 6 b

Logo,

v 3 = a ,   b ,   c = 6 b ,   b ,   - 3 b = b   ( 6 ,   1 ,   - 3 )

Tomando b = 1 :

v 3 = ( 6 ,   1 ,   - 3 )

Passo 3

Para construir a matriz P , basta lembrar que suas colunas são os autovetores:

P = - 3 1 6 1 0 1 0 0 - 3

Assim, o produto P - 1 A P será diagonal com as entradas da diagonal sendo os autovalores:

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Resposta

P = - 3 1 6 1 0 1 0 0 - 3

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

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