Enunciado

Simplifique

(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1)

Passo 1

Belezinha pessoal, o legal aqui é que a gente pode aplicar o Teorema 1.4.6 do nosso Livro que diz que “Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então A B é invertível e (A B)^(- 1) = B^(- 1) A^(- 1) , ou seja, a inversa do produto é o produto das inversas na ordem CONTRÁRIA.

Passo 2

Show de bolinhas, agora que a gente sabe disso, bora aplicar na nossa relação

underset(C A^(- 1))(underset(⏝)((A C^(- 1))^(- 1))) (A C^(- 1)) underset(C A^(- 1))(underset(⏝)((A C^(- 1))^(- 1))) A D^(- 1) =>

=> (C A^(- 1)) (A C^(- 1)) (C A^(- 1)) A D^(- 1) = C underset(I)(underset(⏝)(A^(- 1) A)) underset(I)(underset(⏝)(C^(- 1) C)) underset(I)(underset(⏝)(A^(- 1) A)) D^(- 1) = C D^(- 1)

Agora ficou bonito demais!

Resposta

(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1) = C D^(- 1)

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2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(f) 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 - 1 1 5 9 1 6
a)Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, a d - b c ≠ 0 e neste caso a inversa é dada por A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a b)Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então o sistema linear
Mostre que se A é uma matriz invertível, então A + B e I n + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis. (Sugestão: multiplique A + B por A - 1 .)
Mostre que se A e B são matrizes nxn , invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas.
Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invertíveis, então A + B - 1 = A - 1 I n + B A - 1 - 1 .