Equação do Plano

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde Aí, a maior plataforma de exatas do Brasil, e estamos aqui para salvar o seu semestre.

Hoje iremos te mostrar e ajudar você a entender a equação do plano. Esse é um conteúdo estudado na disciplina álgebra linear e geometria analítica, mas também aparece nos cálculos.

Equação do Plano

A equação do plano nada mais é que a forma matemática de representarmos um plano.

Primeira pergunta: Você sabe o que é um plano?

Talvez você esteja lendo esse conteúdo sentado à mesa e quando você olha para o topo da mesa, o que você vê é um plano.

Basicamente, é uma superfície lisa e com apenas duas dimensões.

A gente pode definir um plano através daquelas definições hiper mega formais que encontramos em livros, mas covenhamos que elas não ajudam muito, não é? kkkkkk

Agora que sabemos o que é um plano, nos deparamos com a segunda pergunta: Como definir um plano?

Para definirmos um plano precisamos conhecer duas coisas:

  • um vetor normal ao plano, que denotamos por $\vec{n}$, e;
  • um ponto que pertença a esse plano, que podemos chamar de $A$.

Tendo conhecido essas duas coisinhas nós conseguimos encontrar o que chamamos de equação geral do plano ou equação cartesiana do plano, como mostra o quadro abaixo:

Vamos entender melhor isso com um EXEMPLO: Seja um plano $\pi$, que tem vetor normal $\vec{n}=(a,b,c)$ e o ponto $A=(1,1,1)$ pertence a esse plano. Encontre a quação geral do plano.

Bom, para encontrar a equação do plano precisamos achar s��o os valores das constantes $a$, $b$, $c$ e $d$.

Como as constantes $a$, $b$ e $c$ são as componentes do vetor normal, conseguimos definir os valores das mesmas rapidamente, uma vez que nós conhecemos o vetor normal:

Então, temos que:

Agora podemos pegar esses valores e substiruir na equação:

Mas ainda falta a constante $d$, como achá-la? É para isso que precisamos conhecer um ponto que pertença ao plano. O que vamos fazer é pegar o ponto que nos foi dado, $A=(1,1,1)$, e substituir os valor das coordenadas de $A$ nas incógnitas $x$, $y$ e $z$ da equação que obtemos anteriormente, da seguinte forma:

Assim, podemos isolar o $d$ e encontrar o seu valor:

Com isso, a gente encontra a equação geral do plano:

Beleza, tranquilinho, não é?

Mas e se ao invés de termos um ponto e um vetor normal, for conhecido um ponto $A$ que pertença ao plano e dois vetores, $\vec{u}$ e $\vec{v}$, que pertencem ao plano, como mostra a figura:

Conseguiremos achar a equação geral com essas informações?

SIM, claro que conseguiremos, mas precisamos usar um método diferente.

Vamos supor que o ponto conhecido é novamente $A=(1,1,1)$, os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são: $\vec{u}=(-1,2,-1)$ e $\vec{v}=(2,-1,0)$ e vamos definir o ponto $P$, que aparece na figura como: $P=(x,y,z)$, que é um ponto qualquer que pertence também ao plano. E agora, vamos seguir esses dois passos aqui:

Passo 1

Definir um vetor $\vec{AP}$ como sendo a subtração entre o ponto $P$ qualquer e o ponto $A$ conhecido:

Passo 2

Vamos fazer o produto misto entre os vetores $\vec{AP}$, $\vec{v}$ e $\vec{u}$ e o igualaremos a zero. A equação obtida dessa operação será a equação geral do plano.

Montando o produto misto para o nosso exemplinho teremos:

Resolvendo o produto misto e igualando a zero, temos:

📢ALERTA: Note que para encontrar a equação do plano usando esse segundo método é importante saber fazer o produto misto entre vetores, então caso você ainda não saiba ou não se lembra muito bem é só conferir essa nossa página aqui: Produto Misto

A equação que obtivemos por esse segundo método é exatamente a mesma que obtivemos antes, e isso não é coincidência, porque se estamos falando do mesmo plano, não importa o método que utilizamos para encontrar a equação ela é sempre a mesma, show de bola?

Essa é a equação do plano e temos esses dois modos de obtê-la. Agora que você já sabe esse conteúdo você pode avançar nos seus estudos e visitar essa nossa página aqui que fala da posição entre planos 👉🏽 Posição entre Planos.

Ou você pode fixar ainda mais esse conteúdo assistindo o vídeo que vou deixar aqui feito por nós do Responde Aí. Nesse vídeo você vai aprender esse conteúdo de forma direta, descontraída e clara. 😉

Vídeo

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 144-5.

Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

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Passo 1

O problema nos dá as 3 equações paramétricas do plano. E, nós queremos descobrir qual é a equação vetorial. Bateu o desespero? Calma, vamos devagar para você entender direitinho!!

Primeiro, temos que retirar todas as informações possíveis que estão nas equações paramétricas. Então, vamos começar!!

Passo 2

As equações paramétricas tem o seguinte formato:

x = x 1 + λ v 1 + µ u 1 y = y 1 + λ v 2 + µ u 2 z = z 1 + λ v 3 + µ u 3

Sendo que x 1 ,   y 1 ,   z 1 são as coordenadas de um ponto que pertence ao plano π e ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 ) e ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 )   são as coordenadas dos vetores pertencentes ao plano. Sabendo disso e comparando com a equação paramétrica conseguimos obter esses dados.

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

Comparando, temos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = ( - 6 ,   - 1 ,   4 )

v 1 ,   v 2 ,   v 3 = ( 1 ,   7 ,   - 5 )

u 1 ,   u 2 ,   u 3 = ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Passo 3

Bom, na teoria vimos que a forma genérica da equação vetorial do plano é:

P = A + λ v → + µ u →

Sabemos que P é um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , o ponto A é um ponto conhecido pertencente ao plano, ou seja, A = ( - 6 ,   - 1 ,   4 ) e os vetores v → e u → são os vetores paralelos ao plano, v → = ( 1 ,   7 ,   - 5 ) e u → = - 1 ,   - 14 ,   2 .

Agora, é só substituirmos:

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Resposta

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 152-4.

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 1 ,   - 3 ,   4 ) e é paralelo aos vetores v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

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Passo 1

Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha

O problema nos dá três informações: o ponto A = ( 1 ,   - 3 ,   4 ) que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano   v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido A e um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , e os vetores paralelos e igualar a zero.

Passo 2

Então, vamos montar o produto misto entre A P → ,     v 1 →   e     v 2 → . Antes, vamos determinar A P → .

A P → = P - A = x ,   y ,   z - 1 ,   - 3 ,   4 = x - 1 ,   y + 3 ,   z - 4

Passo 3

Agora que montamos o produto misto é só resolver:

x - 1 - 2 y + 3 - 3 z - 4 - ( z - 4 + 2 x - 1 + 3 y + 3 )

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0

Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por ( - 1 ) , que ficaria:

x + 5 y + 4 z - 2 = 0

As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.

Resposta

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0         o u       x + 5 y + 4 z - 2 = 0

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 147-1.

Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A ( 3 ,   1 ,   - 4 ) e é paralelo ao plano:

π 1 : 2 x - 3 y + z - 6 = 0

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Passo 1

O enunciado nos pede a equação cartesiana do plano π , sendo que devemos determinar essa equação sabendo que o plano passa pelo ponto A = ( 3 ,   1 ,   - 4 ) e que o plano π é paralelo ao plano π 1 . Bem, parece que está faltando informação?! Pode até parecer, mas temos tudo o que precisamos! Vamos descobrir o que falta!!

Vamos raciocinar o que podemos tirar de informação do plano π 1 !! Bem, temos a equação geral do plano π 1 e dela podemos tirar o vetor normal ao plano π 1 , certo? Pois, sabemos que a equação geral do plano tem a seguinte forma:

a x + b y + c z + d = 0

Sendo a ,   b e c as coordenadas do vetor normal do plano π 1 , n → = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) . O problema falou que os planos π e π 1 são paralelos, então isso significa dizer que o vetor normal ao plano π 1 também é normal ao plano π . Pronto matamos a charada!!!

Passo 2

Agora que sacamos que o vetor normal de π 1 é normal também à π , então temos tudo o que precisamos para determinar a equação geral do plano π . Assim, sabendo:

A = 3 ,   1 ,   - 4

n → = 2 ,   - 3 ,   1 = ( a ,   b ,   c )

Substituindo as coordenadas de n → na equação geral temos:

a x + b y + c z + d = 0 → 2 x - 3 y + 1 z + d = 0

Passo 3

Só falta descobrirmos o valor de d substituindo A :

2.3 - 3.1 + 1 . - 4 + d = 0 → d = + 1

Então, nossa equação é:

2 x - 3 y + z + 1 = 0

Resposta

2 x - 3 y + z + 1 = 0

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 153-5.

Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A 2 ,   1 ,   - 1 ,   B ( 0 ,   - 1 ,   1 ) e C ( 1 ,   2 ,   1 ) .

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Passo 1

Esse problema é parecido com o anterior que fizemos, pois o exercício nos pede novamente a equação geral do plano. Porém, o enunciado nos fornece 3 pontos que determinam o plano que queremos. Que estanho!! Como faço isso tendo apenas 3 pontos? Na teoria não lembro de ter visto nada disso!! Realmente, você ainda não viu!! Mas, você vai ver como é possível fazer isso!!

Passo 2

Vamos analisar a figura a seguir

Com os três pontos A ,   B e C pertencentes ao plano conseguimos formar dois vetores que sejam paralelos ao plano, por exemplo, os vetores A C → e A B → . Assim, teríamos dois vetores paralelos ao plano e ainda podemos escolher um dos 3 pontos para achar a equação geral do plano fazendo o produto misto.

Então, vamos primeiro calcular os vetores A C → e A B → .

A C → = C - A = 1 ,   2 ,   1 - 2 ,   1 ,   - 1 → A C → = ( - 1 ,   1 ,   2 )  

A B → = B - A = 0 ,   - 1 ,   1 - 2 ,   1 ,   - 1 → A B → = ( - 2 ,   - 2 ,   2 )

Passo 3

Agora, já temos dois vetores paralelos ao plano e não são paralelos entre si. Falta escolher um ponto para fazer o produto misto. Porquê eu quero vou escolher o ponto A = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) . Então, bora montar o produto misto. Lembrando que o terceiro vetor é formado pelo ponto A e o ponto genérico P = x ,   y ,   z que gera A P → = P - A = ( x - 2 ,   y - 1 ,   z + 1 ) .

2 x - 2 - 4 y - 1 + 2 z + 1 - - 2 z + 1 - 4 x - 2 - 2 y - 1

6 x - 2 y + 4 z - 6 = 0

Para tornar os índices os mais reduzidos podemos multiplicar por 1 2 e obteremos:

3 x - y + 2 z - 3 = 0

Prontinho, chegamos na equação geral. Lembrando que os vetores paralelos poderiam ter sido outros que o resultado daria no mesmo, bem como o ponto escolhido.

Ainda, há uma segunda forma de se resolver esse problema que é ao invés de zerar o produto misto, poderíamos fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano encontrados e assim acharíamos o vetor normal ao plano. Escolheríamos um ponto e substituiríamos direto na equação geral do plano a x + b y + c z + d = 0 .

Resposta

3 x - y + 2 z - 3 = 0

Exercício Resolvido #5

Prova de Segunda chamada da Unicamp. 1º semestre de 2013. Questão 4.

O ponto P tem coordenadas ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e a reta r passa pelo ponto P 0 ( 2 ,   4 ,   1 ) e é paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) . Mostrar que P não pertence à reta r e determinar a equação do plano que contém P e r .

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Passo 1

O enunciado nos fornece várias informações!! Vamos retirar!!

Dados: P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) r e t a   r :   p a s s a   p o r   P 0 = 2 ,   4 ,   1 = ( x 1 ,     y 1 ,   z 1 ) p a r a l e l a   a o   v e t o r   v → = 1 ,   - 1 ,   2 = ( a ,   b ,   c )

Tendo esses dados devemos mostrar que o ponto P não pertence à reta r e também devemos determinar a equação do plano que contém P e r .

Passo 2

Vamos começar mostrando se o ponto P pertence ou não á reta r . Para isso, como vimos no tópico sobre “Estudo da Reta” devemos montar alguma das equações da reta e testar. Como temos o vetor diretor que é o paralelo a reta e um ponto, vou montar as equações simétricas da reta e testar o ponto P .

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Substituindo os valores de P 0 = 2 ,   4 ,   1 = ( x 1 ,     y 1 ,   z 1 ) e v → = 1 ,   - 1 ,   2 = ( a ,   b ,   c ) , temos:

x - 2 1 = y - 4 - 1 = z - 1 2

Passo 3

Agora que já temos as equações simétricas da reta basta substituirmos os valores de P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e verificar a validade das equações:

4 - 2 1 = 1 - 4 - 1 = - 1 - 1 2 → 2 ≠ 3 ≠ - 1

Portanto, mostramos que P não pertence à r

Passo 4

Para finalizar, devemos determinar a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P .  

A figura acima mostra o que temos de informações, ou seja, a reta r e o ponto P que pertence ao plano e sabemos que não pertence à r . Mas, vimos que para determinar um plano precisamos do vetor normal e um ponto, ouuu, de dois vetores paralelos ao plano e um ponto. Bem, essa segunda opção me parece a mais viável para o nosso caso!! Um vetor paralelo nós já temos que é o vetor v → , mas precisamos de mais um!!! Como achar? Se encontrarmos um ponto pertencente à reta r e fizermos um vetor com o ponto P , teremos:

Então, bora achar o ponto R pertencente à reta r . Para isso vamos usar as equações simétricas que já achamos:

x - 2 1 = y - 4 - 1 = z - 1 2

Se chutarmos que x = 1 , teremos que:

1 - 2 1 = - 1

Então, devemos achar y e z de forma que a proporção seja - 1 , assim:

y - 4 - 1 = - 1             e         z - 1 2 = - 1

y = 5           e       z = - 1

Portanto, temos o ponto R = ( 1 ,   5 ,   - 1 ) .

Passo 5

Agora podemos encontrar o vetor R P → e então teremos as informações necessárias para encontrar a equação geral do plano.

R P → = P - R = 4 ,   1 , - 1 - 1 ,   5 ,   - 1 = ( 3 ,   - 4 ,   0 )

Agora é só montar o produto misto entre o ponto P = 4 ,   1 ,   - 1 e um ponto genérico P ' = ( x ,   y ,   z ) e os vetores R P → e v → = 1 ,   - 1 ,   2 .

P P ' → = x ,   y ,   z - 4 ,   1 ,   - 1 = ( x - 4 ,   y - 1 ,   z + 1 )

Montando o produto misto, temos:

P P ' → ,   R P → ,   v → = x - 4 y - 1 z + 1 3 - 4 0 1 - 1 2 = 0

Resolvendo,

- 8 x - 4 + 0 - 3 z + 1 - ( - 4 z + 1 + 0 + 6 y - 1 ) = 0

- 8 x - 6 y + z + 39 = 0

Vale ressaltar que o ponto da reta escolhido poderia ter sido qualquer outro, que o resultado deve ser o mesmo. Pois, o que importa realmente é que os dois vetores não sejam paralelos entre si e como o ponto P não pertence à r então não corremos esse risco ;)

Resposta

- 8 x - 6 y + z + 39 = 0

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 181-18.

Determine a equação geral do plano que contém os pontos A ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e B ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) e é perpendicular ao plano

π : 2 x + y - z + 8 = 0

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Passo 1

Queremos determinar a equação geral do plano que contém os pontos A e B e ainda é perpendicular ao plano π , ou seja, forma 90 ° . Nossa de novo determinar a equação geral do plano??

Isso mesmo!! Porém, a cada questão estamos vendo que o enunciado pode nos dar diferentes dados e que mesmo assim conseguimos obter a equação geral ;).

Nessa questão, por exemplo, vamos nos basear pela figura a seguir.

Novamente, para determinar o plano que queremos temos duas opções: ter o vetor normal ao plano e um ponto pertencente a ele OU ter dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Pela figura, podemos ver que vamos ficar com a segunda opção, pois com os pontos A e B conseguimos formar o vetor A B → que é paralelo ao plano já que eles pertencem ao plano e também podemos notar que o vetor normal do plano π é paralelo ao plano que queremos determinar, pois os dois são perpendiculares.

Passo 2

Com tudo o que falamos, acho que deu para sacar que nossos dados serão o vetor n → , o A B → e um dos pontos A ou B que poderemos escolher qualquer um deles que o resultado será o mesmo. Vamos determinar então os vetores n → e A B → :

  A B → = B - A = - 3 ,   1 ,   - 2 - 1 ,   - 2 ,   2 = ( - 4 ,   3 ,   - 4 )

O vetor n → tiraremos da equação geral do plano π :

2 x + y - z + 8 = 0 → n → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )  

Por fim, o ponto que usaremos será o B = ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) , lembrando que poderia ser o A .

Passo 3

Agora, basta montarmos o produto misto entre os vetores B P → ,   n → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )   e A B → = ( - 4 ,   3 ,   - 4 ) . Sendo P = ( x ,   y ,   z ) um ponto genérico.

B P → = P - B = x ,   y ,   z - - 3 ,   1 ,   - 2 = ( x + 3 ,   y - 1 ,   z + 2 )

B P → ,   A B → ,   n → = x + 3 y - 1 z + 2 - 4 3 - 4 2 1 - 1 = 0