Teoria Completa
Imagine que você é um engenheiro e está projetando um prédio de 10 andares. Seu chefe pediu para que você identificasse cada uma das 10 lajes do prédio por meio da equação de um plano. Como posso definir um plano??
Relaxa!!! Vamos te ensinar direitinho como você deve identificar os planos de cada andar do seu prédio! ;)
Vamos começar!!
Um plano fica bem definido se soubermos um vetor que seja normal ao plano, que na figura acima é o vetor e por um ponto conhecido . Vamos dizer que o primeiro andar do prédio possui e E aí? Como faz?
A Equação Geral ou Cartesiana do Plano é da seguinte forma:
O que são e ? São constantes!! O e são as coordenadas do vetor normal ao plano. Assim, considerando o , teríamos:
Falta definirmos o valor de , certo? Para isso, vamos usar o ponto . Vou substituir os valores das coordenadas de nas incógnitas e da seguinte forma:
Assim, chegamos na expressão geral do plano do primeiro andar do prédio:
Assim, resumindo tudo temos:
CUIDADO!!! Quando falamos em retas o vetor é o vetor diretor da reta que é paralelo a reta. MAssss, no plano o vetor representa o vetor que é perpendicular ao plano.
Beleza!! Já entendi como obter a equação geral quando tenho um vetor normal ao plano e um ponto conhecido!! Mas, e se me derem dois vetores paralelos ao plano e um ponto conhecido?
Vamos aprender agora!!!
Se tivermos, como na figura acima, os vetores e e queremos determinar a equação geral do plano, faremos o produto misto entre os três vetores e igualaremos a ZERO. Isso, porque se o produto misto é zero, então os três vetores são coplanares e por isso definem bem esse plano. Vamos supor que nosso ponto continua a ser , nosso vetor um ponto genérico, e . Assim, montando o produto misto teremos:
Resolvendo:
Chegamos, na mesma equação de quando tínhamos o vetor normal e um ponto e isso não é coincidência não!! Como estamos tratando do mesmo plano, mas apenas de uma forma diferente, a equação geral do plano deve ser a mesma.
Cuidado: Os vetores paralelos ao plano NÃO podem ser paralelos entre si, ou seja, . Se os vetores forem paralelos devemos achar um outro vetor para fazer o produto misto.
Apenas, generalizando o que fizemos e definindo , e . O produto misto fica.
Depois de montado basta igualar a ZERO e resolver como fizemos antes ;).
Acabamos de aprender duas formas de montar a equação geral do plano. Mas, o plano pode também ser representado pela equação vetorial e pela paramétrica.
Um plano como vimos ele pode ser definido por 3 vetores. Ao invés de fazermos o produto misto, podemos escrever uma equação do plano de uma outra forma que se chama Equação Vetorial do Plano, que é da seguinte forma:
Considerando os vetores do nosso prédio teríamos:
Assim, se escrevermos coordenada a coordenada, temos:
Esse conjunto de equações é que chamamos de Equações Paramétricas do Plano. Sendo e parâmetros do plano que pertencem ao conjunto dos reais.
Assim, generalizando temos:
De teoria era isso!! Bora práticar?!
Exercício Resolvido #1
Dê uma equação vetorial do plano que tem por equações paramétricas
Passo 1
O problema nos dá as 3 equações paramétricas do plano. E, nós queremos descobrir qual é a equação vetorial. Bateu o desespero? Calma, vamos devagar para você entender direitinho!!
Primeiro, temos que retirar todas as informações possíveis que estão nas equações paramétricas. Então, vamos começar!!
Passo 2
As equações paramétricas tem o seguinte formato:
Sendo que são as coordenadas de um ponto que pertence ao plano e e são as coordenadas dos vetores pertencentes ao plano. Sabendo disso e comparando com a equação paramétrica conseguimos obter esses dados.
Comparando, temos:
Passo 3
Bom, na teoria vimos que a forma genérica da equação vetorial do plano é:
Sabemos que é um ponto genérico , o ponto é um ponto conhecido pertencente ao plano, ou seja, e os vetores e são os vetores paralelos ao plano, e
Agora, é só substituirmos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e .
Passo 1
Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha
O problema nos dá três informações: o ponto que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano e . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido e um ponto genérico , e os vetores paralelos e igualar a zero.
Passo 2
Então, vamos montar o produto misto entre . Antes, vamos determinar .
Passo 3
Agora que montamos o produto misto é só resolver:
Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por , que ficaria:
As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano:
Passo 1
O enunciado nos pede a equação cartesiana do plano , sendo que devemos determinar essa equação sabendo que o plano passa pelo ponto e que o plano é paralelo ao plano . Bem, parece que está faltando informação?! Pode até parecer, mas temos tudo o que precisamos! Vamos descobrir o que falta!!
Vamos raciocinar o que podemos tirar de informação do plano !! Bem, temos a equação geral do plano e dela podemos tirar o vetor normal ao plano , certo? Pois, sabemos que a equação geral do plano tem a seguinte forma:
Sendo e as coordenadas do vetor normal do plano , . O problema falou que os planos e são paralelos, então isso significa dizer que o vetor normal ao plano também é normal ao plano . Pronto matamos a charada!!!
Passo 2
Agora que sacamos que o vetor normal de é normal também à , então temos tudo o que precisamos para determinar a equação geral do plano . Assim, sabendo:
Substituindo as coordenadas de na equação geral temos:
Passo 3
Só falta descobrirmos o valor de substituindo :
Então, nossa equação é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos e .
Passo 1
Esse problema é parecido com o anterior que fizemos, pois o exercício nos pede novamente a equação geral do plano. Porém, o enunciado nos fornece 3 pontos que determinam o plano que queremos. Que estanho!! Como faço isso tendo apenas 3 pontos? Na teoria não lembro de ter visto nada disso!! Realmente, você ainda não viu!! Mas, você vai ver como é possível fazer isso!!
Passo 2
Vamos analisar a figura a seguir
Com os três pontos e pertencentes ao plano conseguimos formar dois vetores que sejam paralelos ao plano, por exemplo, os vetores e . Assim, teríamos dois vetores paralelos ao plano e ainda podemos escolher um dos 3 pontos para achar a equação geral do plano fazendo o produto misto.
Então, vamos primeiro calcular os vetores e .
Passo 3
Agora, já temos dois vetores paralelos ao plano e não são paralelos entre si. Falta escolher um ponto para fazer o produto misto. Porquê eu quero vou escolher o ponto . Então, bora montar o produto misto. Lembrando que o terceiro vetor é formado pelo ponto e o ponto genérico que gera .
Para tornar os índices os mais reduzidos podemos multiplicar por e obteremos:
Prontinho, chegamos na equação geral. Lembrando que os vetores paralelos poderiam ter sido outros que o resultado daria no mesmo, bem como o ponto escolhido.
Ainda, há uma segunda forma de se resolver esse problema que é ao invés de zerar o produto misto, poderíamos fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano encontrados e assim acharíamos o vetor normal ao plano. Escolheríamos um ponto e substituiríamos direto na equação geral do plano .
Resposta
Exercício Resolvido #5
O ponto tem coordenadas e a reta passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Mostrar que não pertence à reta e determinar a equação do plano que contém e .
Passo 1
O enunciado nos fornece várias informações!! Vamos retirar!!
Dados:
Tendo esses dados devemos mostrar que o ponto não pertence à reta e também devemos determinar a equação do plano que contém e .
Passo 2
Vamos começar mostrando se o ponto pertence ou não á reta . Para isso, como vimos no tópico sobre “Estudo da Reta” devemos montar alguma das equações da reta e testar. Como temos o vetor diretor que é o paralelo a reta e um ponto, vou montar as equações simétricas da reta e testar o ponto .
Substituindo os valores de e , temos:
Passo 3
Agora que já temos as equações simétricas da reta basta substituirmos os valores de e verificar a validade das equações:
Portanto, mostramos que não pertence à
Passo 4
Para finalizar, devemos determinar a equação geral do plano que contém a reta e o ponto
A figura acima mostra o que temos de informações, ou seja, a reta e o ponto que pertence ao plano e sabemos que não pertence à . Mas, vimos que para determinar um plano precisamos do vetor normal e um ponto, ouuu, de dois vetores paralelos ao plano e um ponto. Bem, essa segunda opção me parece a mais viável para o nosso caso!! Um vetor paralelo nós já temos que é o vetor , mas precisamos de mais um!!! Como achar? Se encontrarmos um ponto pertencente à reta e fizermos um vetor com o ponto , teremos:
Então, bora achar o ponto pertencente à reta . Para isso vamos usar as equações simétricas que já achamos:
Se chutarmos que , teremos que:
Então, devemos achar e de forma que a proporção seja , assim:
Portanto, temos o ponto .
Passo 5
Agora podemos encontrar o vetor e então teremos as informações necessárias para encontrar a equação geral do plano.
Agora é só montar o produto misto entre o ponto e um ponto genérico e os vetores e .
Montando o produto misto, temos:
Resolvendo,
Vale ressaltar que o ponto da reta escolhido poderia ter sido qualquer outro, que o resultado deve ser o mesmo. Pois, o que importa realmente é que os dois vetores não sejam paralelos entre si e como o ponto não pertence à então não corremos esse risco ;)
Resposta
Exercício Resolvido #6
Determine a equação geral do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano
Passo 1
Queremos determinar a equação geral do plano que contém os pontos e e ainda é perpendicular ao plano , ou seja, forma . Nossa de novo determinar a equação geral do plano??
Isso mesmo!! Porém, a cada questão estamos vendo que o enunciado pode nos dar diferentes dados e que mesmo assim conseguimos obter a equação geral ;).
Nessa questão, por exemplo, vamos nos basear pela figura a seguir.
Novamente, para determinar o plano que queremos temos duas opções: ter o vetor normal ao plano e um ponto pertencente a ele OU ter dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Pela figura, podemos ver que vamos ficar com a segunda opção, pois com os pontos e conseguimos formar o vetor que é paralelo ao plano já que eles pertencem ao plano e também podemos notar que o vetor normal do plano é paralelo ao plano que queremos determinar, pois os dois são perpendiculares.
Passo 2
Com tudo o que falamos, acho que deu para sacar que nossos dados serão o vetor , o e um dos pontos ou que poderemos escolher qualquer um deles que o resultado será o mesmo. Vamos determinar então os vetores e :
O vetor tiraremos da equação geral do plano :
Por fim, o ponto que usaremos será o , lembrando que poderia ser o .
Passo 3
Agora, basta montarmos o produto misto entre os vetores e . Sendo um ponto genérico.
Resolvendo: