Introdução ao Plano

Teoria Completa

Imagine que você é um engenheiro e está projetando um prédio de 10 andares. Seu chefe pediu para que você identificasse cada uma das 10 lajes do prédio por meio da equação de um plano. Como posso definir um plano??

Relaxa!!! Vamos te ensinar direitinho como você deve identificar os planos de cada andar do seu prédio! ;)

Vamos começar!!

Um plano fica bem definido se soubermos um vetor que seja normal ao plano, que na figura acima é o vetor n → e por um ponto conhecido A . Vamos dizer que o primeiro andar do prédio possui n → = ( 1 ,   2 ,   3 ) e A = 1 ,   1 ,   1 . E aí? Como faz?

A Equação Geral ou Cartesiana do Plano é da seguinte forma:

a x + b y + c z + d = 0

O que são a ,   b ,   c   e d ? São constantes!! O a ,   b   e c   são as coordenadas do vetor normal ao plano. Assim, considerando o n → = 1 ,   2 ,   3 = ( a ,   b ,   c ) , teríamos:

1 x + 2 y + 3 z + d = 0

Falta definirmos o valor de d , certo? Para isso, vamos usar o ponto A = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Vou substituir os valores das coordenadas de A nas incógnitas   x ,   y e   z da seguinte forma:

1 x + 2 y + 3 z + d = 0

1.1 + 2.1 + 3.1 + d = 0 → d = - 6

Assim, chegamos na expressão geral do plano do primeiro andar do prédio:

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

Assim, resumindo tudo temos:

CUIDADO!!! Quando falamos em retas o vetor ( a ,   b ,   c ) é o vetor diretor da reta que é paralelo a reta. MAssss, no plano o vetor n → = ( a ,   b ,   c ) representa o vetor que é perpendicular ao plano.

Beleza!! Já entendi como obter a equação geral quando tenho um vetor normal ao plano e um ponto conhecido!! Mas, e se me derem dois vetores paralelos ao plano e um ponto conhecido?

Vamos aprender agora!!!

Se tivermos, como na figura acima, os vetores u → ,   v → e A P → e queremos determinar a equação geral do plano, faremos o produto misto entre os três vetores e igualaremos a ZERO. Isso, porque se o produto misto é zero, então os três vetores são coplanares e por isso definem bem esse plano. Vamos supor que nosso ponto A continua a ser A = ( 1 ,   1 ,   1 ) , nosso vetor P = x ,   y ,   z um ponto genérico, v → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e u → = ( - 1 ,   2 ,   - 1 ) . Assim, montando o produto misto teremos:

Resolvendo:

1 x - 1 + 0 y - 1 + 4 z - 1 - 1 z - 1 + 0 x - 1 - 2 y - 1 = 0

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

Chegamos, na mesma equação de quando tínhamos o vetor normal e um ponto e isso não é coincidência não!! Como estamos tratando do mesmo plano, mas apenas de uma forma diferente, a equação geral do plano deve ser a mesma.

Cuidado: Os vetores paralelos ao plano NÃO podem ser paralelos entre si, ou seja, v → ≠ n u → . Se os vetores forem paralelos devemos achar um outro vetor para fazer o produto misto.

Apenas, generalizando o que fizemos e definindo A = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) , P = x ,   y ,   z , u → = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 ) e v → = ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 ) . O produto misto fica.

Depois de montado basta igualar a ZERO e resolver como fizemos antes ;).

Acabamos de aprender duas formas de montar a equação geral do plano. Mas, o plano pode também ser representado pela equação vetorial e pela paramétrica.

Um plano como vimos ele pode ser definido por 3 vetores. Ao invés de fazermos o produto misto, podemos escrever uma equação do plano de uma outra forma que se chama Equação Vetorial do Plano, que é da seguinte forma:

Considerando os vetores do nosso prédio teríamos:

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + λ 2 ,   - 1 ,   0 + µ ( - 1 ,   2 ,   - 1 )

Assim, se escrevermos coordenada a coordenada, temos:

x = 1 + 2 λ - 1 µ y = 1 - 1 λ + 2 µ z = 1 + 0 λ - 1 µ

Esse conjunto de equações é que chamamos de Equações Paramétricas do Plano. Sendo λ e µ parâmetros do plano que pertencem ao conjunto dos reais.

Assim, generalizando temos:

De teoria era isso!! Bora práticar?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 144-5.

Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

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Passo 1

O problema nos dá as 3 equações paramétricas do plano. E, nós queremos descobrir qual é a equação vetorial. Bateu o desespero? Calma, vamos devagar para você entender direitinho!!

Primeiro, temos que retirar todas as informações possíveis que estão nas equações paramétricas. Então, vamos começar!!

Passo 2

As equações paramétricas tem o seguinte formato:

x = x 1 + λ v 1 + µ u 1 y = y 1 + λ v 2 + µ u 2 z = z 1 + λ v 3 + µ u 3

Sendo que x 1 ,   y 1 ,   z 1 são as coordenadas de um ponto que pertence ao plano π e ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 ) e ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 )   são as coordenadas dos vetores pertencentes ao plano. Sabendo disso e comparando com a equação paramétrica conseguimos obter esses dados.

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

Comparando, temos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = ( - 6 ,   - 1 ,   4 )

v 1 ,   v 2 ,   v 3 = ( 1 ,   7 ,   - 5 )

u 1 ,   u 2 ,   u 3 = ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Passo 3

Bom, na teoria vimos que a forma genérica da equação vetorial do plano é:

P = A + λ v → + µ u →

Sabemos que P é um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , o ponto A é um ponto conhecido pertencente ao plano, ou seja, A = ( - 6 ,   - 1 ,   4 ) e os vetores v → e u → são os vetores paralelos ao plano, v → = ( 1 ,   7 ,   - 5 ) e u → = - 1 ,   - 14 ,   2 .

Agora, é só substituirmos:

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Resposta

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 152-4.

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 1 ,   - 3 ,   4 ) e é paralelo aos vetores v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

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Passo 1

Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha

O problema nos dá três informações: o ponto A = ( 1 ,   - 3 ,   4 ) que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano   v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido A e um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , e os vetores paralelos e igualar a zero.

Passo 2

Então, vamos montar o produto misto entre A P → ,     v 1 →   e     v 2 → . Antes, vamos determinar A P → .

A P → = P - A = x ,   y ,   z - 1 ,   - 3 ,   4 = x - 1 ,   y + 3 ,   z - 4

Passo 3

Agora que montamos o produto misto é só resolver:

x - 1 - 2 y + 3 - 3 z - 4 - ( z - 4 + 2 x - 1 + 3 y + 3 )

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0

Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por ( - 1 ) , que ficaria:

x + 5 y + 4 z - 2 = 0

As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.

Resposta

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0         o u       x + 5 y + 4 z - 2 = 0