Introdução aos Vetores

Resumo Completo

Introdução ao Estudo dos Vetores

Quando começamos a estudar Física no Ensino Médio, vimos que existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais.

As grandezas escalares são perfeitamente definidas por um número. Já as grandezas vetoriais são bem definidas por meio de um vetor.

Mas, o que é um vetor?

Vamos te explicar direitinho para você entender de primeira ;).

Um vetor é uma “seta” que possui direção, sentido e módulo (comprimento).

O comprimento, ou o módulo de um vetor, é representado por: | v | (essas duas barrinhas representam o comprimento do vetor). Mas como eu calculo o dito cujo??

Bom galera, para calcular o módulo é só somar o quadrado das coordenadas do vetor e tirar a raiz. Vamos dar uma olhada em um exemplo:

v   = ( 3 ,   0 ,   4 )

v = 3 2 + 0 2 + 4 2 = 25 = 5

Pronto! O comprimento do vetor v é 5! Showww de bolinhas!

A fórmula para o módulo fica assim ô:

v =   x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

CUIDADO: | v | v . Pois, | v | é apenas o módulo do vetor v ,     e   v representa o vetor, que possui direção, sentido e módulo.

Outra coisa que rola é que um vetor pode ser caracterizado por meio de dois pontos, sendo um a origem e o outro a sua extremidade, como mostra a figura abaixo. Então se a origem é o ponto A e o outro extremo é o ponto B , temos o vetor A B , que começa em A e vai até B .

E se fizermos, o vetor B A ? Então agora teremos um vetor começando em B e indo até A . Assim A B e B A são vetores opostos, pois se diferenciam apenas no sentido, como mostra a figura a seguir:

Agora, em vez de representar o vetor num espaço qualquer, vamos representá-lo no plano cartesiano, como na figura abaixo:

Olhando na figura, temos o vetor A B . Como podemos encontrar as coordenadas do vetor?

Agora vem uma definição importante!!!

Já que um vetor é definido por dois pontos:

A B = B - A

Guarde com carinho essa relação!

Pela figura, temos que B = ( 0 ,   6 ,   2 ) e A = 0 ,   1 ,   1 . Então,

A B = 0 ,   6 ,   2 - 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   5 ,   1 )

Dá para calcular o módulo desse vetor?? Claro que sim!!

A B = 0 2 + 5 2 + 1 2 = 26

Reparem que, como o módulo é o comprimento do vetor, ele vai ser exatamente a distância entre os pontos A e B !

Observação: E se eu quisesse descobrir se dois vetores são paralelos??

Bem, quando dois vetores são paralelos eles vão ser múltiplos um do outro, olha só:

u = 1 ,   2 ,   3

v   = ( 2 ,   4 ,   6 )

Reparem que o vetor   v   é igual a duas vezes o vetor   u , ou seja   v = 2 u   !

Quando conseguirmos escrever dois vetores na forma   u = k v , sendo k um número real qualquer (exceto zero, zero não vale), eles serão paralelos!

Vamos dar uma olhada nos exercícios para você entender tudinho??

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Calcule o módulo do vetor v = (2, 6, 3).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa!! Vamos calcular o módulo do vetor (2, 6, 3), que vai ser:

v =   2 2 + 6 2 + 3 2

v =   49 = 7

Resposta

v = 7

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração própria

Dado que v = (2, y, 1) e v = 3 , calcule y.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Beleza, o enunciado diz para gente que v = 3 , então se pegarmos as coordenadas do v   e substituirmos na fórmula do módulo, vamos achar o nosso y!!

v =   2 2 + y 2 + 1 2 = 3

        4 + y 2 + 1 = 3

  y 2 + 5 = 3

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, temos

  y 2 + 5   = 9

y 2 = 4

y = 2   o u   y =   - 2

Resposta

    y = 2   o u   y =   - 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 35-6.

Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores u = ( m + 1 ,   3 ,   1 ) e v = ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores: v e u . Mas, as coordenadas desses vetores dependem de duas variáveis, m e n , que devemos determinar. Mas com que condição?

Com a condição de que os vetores u e v sejam paralelos. Ué, mas o que isso me ajuda?

Ajuda, pois vimos na teoria que dois vetores são paralelos se são múltiplos entre si. Não lembra? Assim oh,

u = k v

Lembrou?

Passo 2

Então, temos:

m + 1 ,   3 ,   1 = k ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 )  

Igualando as coordenadas temos:

m + 1 = k ( 4 )

3 = 2 k

1 = k ( 2 n - 1 )

Passo 3

Bom, temos três expressões para 3 incógnitas. Agora, é resolver o sistema. Para eu sumir com o k vou substituir o k = 3 2 da segunda expressão nas outras.

m + 1 = 4.3 2   m = 5

1 = 3 2 2 n - 1 n = 5 6

Resposta

m = 5   e   n = 5 6

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 37-1.

Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = ( 2 ,   - 5 ) , sabendo que sua origem é o ponto A ( - 1 ,   3 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, temos um vetor v que nos é dado. Esse vetor ele é formado por dois pontos, um que é a origem e outro q é seu outro extremo, como vimos todo o vetor é assim. Assim, foi nos dado o ponto que é a origem e devemos descobrir qual o outro ponto. Sacou?

Passo 2

Pela teoria sabemos que se temos um vetor v e ele tem como extremidades os pontos A   e   B , então é como se tivéssemos:

v = A B   o u   v = B A

No nosso caso é A B ou B A , ou tanto faz?

Vimos que cada vetor tem um sentido. E esse sentido ele é determinado pela origem, então se o enunciado nos deu que a origem é A , temos que v = A B .

Passo 3

Beleza! Já sabemos que nosso vetor é v = A B . Mas, essa igualdade pode ser escrita como uma diferença entre pontos.

v = A B = B - A

Temos v   e   A , então conseguimos achar B que vamos supor ser B = ( x , y ) . Igualando o que temos:

v = A B 2 ,   - 5 = x , y - ( - 1 ,   3 )

2 = x + 1 x = 1

- 5 = y - 3 y = - 2

B = ( 1 ,   - 2 )

Resposta

B = ( 1 ,   - 2 )

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 34-5.

Dados os pontos P 1 ,   2 ,   4 ,   Q ( 2 ,   3 ,   2 ) e R ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , determinar as coordenadas de um ponto S tal que os vetores R P e S Q sejam paralelos.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá 3 pontos: P ,   Q   e   R . E queremos descobrir as coordenadas do ponto S . Mas, como vou achar esse ponto? Qual a condição?

Bom, a condição é a de que os vetores R P e S Q sejam paralelos.

Passo 2

Por onde começamos?

Vamos analisar a figura abaixo e alguns conhecimentos que temos sobre vetores paralelos

R P S Q

Pelo o que vimos na teoria sabemos que quando dois vetores são paralelos temos a seguinte relação:

R P = k S Q

Passo 3

Então, agora temos os pontos R   e   P para determinar o vetor R P . Vamos considerar que o ponto S é S = ( x ,   y ,   z ) , como temos o Q conseguimos calcular o vetor S Q .

Fazendo as contas temos:

R P = P - R = 1 ,   2 ,   4 - 2 ,   1 ,   - 1 = ( - 1 ,   1 ,   5 )

S Q = Q - S = 2 ,   3 ,   2 - x ,   y ,   z = ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

Utilizando a relação R P = k S Q , igualando as coordenadas temos:

R P = k S Q   - 1 ,   1 ,   5 = k ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

- 1 = k ( 2 - x )

1 = k ( 3 - y )

5 = k ( 2 - z )

Como o k é uma constante de proporcionalidade que garante que os vetores sejam paralelos e queremos apenas garantir que sejam paralelos, então, podemos escolher qualquer valor de k , pois para k 0 os vetoresirão possuir a mesma direção . Assim, vamos considerar k = 1 , por facilidade das contas:

- 1 = 2 - x x = 3

1 = 3 - y y = 2

5 = 2 - z z = - 3

Pronto, chegamos no resultado!!!

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Você deve estar, talvez, se perguntando: E seu alterar os vértices de lugar, muda algo?

Muda sim, o raciocínio é o mesmo, mas as coordenadas do ponto S podem se alterar.

Resposta

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 41-2.

Sabendo que a distância entre os pontos A ( - 1 ,   2 ,   3 ) e B 1 ,   - 1 ,   m é 7 , calcular m .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Devemos determinar o valor de m para que a distância entre os pontos seja 7 .

Passo 2

Pela teoria, sabemos que a distância entre dois pontos é o módulo do vetor formado por esses pontos. Não se lembra disso? ? Então, vamos relembrar!!!

Primeiro, o vetor formado pelos pontos A e B pode ser: A B ou B A . Nesse caso, como queremos calcular o módulo, tanto faz qual vetor escolheremos, pois a diferença entre eles é o sentido. Vou escolher A B .

A B = B - A = 1 ,   - 1 ,   m - - 1 ,   2 ,   3   A B = ( 2 ,   - 3 ,   m - 3 )

A distância deve ser 7, ou seja, o módulo do vetor A B deve valer 7.

A B = 7

Passo 3

Para achar m devemos calcular o módulo de A B = ( 2 ,   - 3 ,   m - 3 ) .

A B = 2 2 + ( - 3 ) 2 + ( m - 3 ) 2 = 7

2 2 + ( - 3 ) 2 + ( m - 3 ) 2 = 7 2

4 + 9 + m - 3 2 = 49   m - 3 2 = 36

m - 3 = ± 36

m = 3 ± 6

Passo 4

Resposta

m = 9 ou m = - 3

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 91-11.

Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e B ( - 2 ,   1 ,   - 1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá como informação que devemos achar um ponto P que esteja no eixo das abscissas (eixo x ), podemos já concluir que as coordenas y e z desse ponto são ZERO. A segunda informação é que o ponto P deve ter a mesma distância (equidistante) entre os ponto A   e   P , e os pontos B   e   P . Assim, temos:

Dados: P = ( x , 0 ,   0 ) e A P = | B P |

Passo 2

Para acharmos o ponto P , basta encontrarmos A P , | B P | e igualar.

A P = P - A = x ,   0 ,   0 - 2 ,   - 3 ,   1 = ( x - 2 ,   3 ,   - 1 )

B P = P - B = x ,   0 ,   0 - - 2 ,   1 ,   - 1 = ( x + 2 ,   - 1 ,   1 )

Passo 3

Igualando,

A P = B P   ( x - 2 ) 2 + 3 2 + ( - 1 ) 2 = ( x + 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2

( x - 2 ) 2 + 9 + 1 = ( x + 2 ) 2 + 1 + 1

x 2 - 4 x + 4 + 10 = x 2 + 4 x + 4 + 2

8 x = 8     x = 1

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Resposta

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

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