Operações com Vetores

Teoria Completa

Os vetores, assim como os números, também podem ser somados, subtraídos, multiplicados ...

Então agora, vou mostrar para vocês exatamente como essas operações são feitas nos vetores! Simbora!

Soma

Uma das operações que podemos realizar com vetores é a soma de vetores. Se temos, por exemplo, dois vetores u →   e   v → , qual a soma desses dois vetores? Consideremos a figura abaixo:

Então, pela figura temos que s → =   u → + v → . Como podemos ver na figura, para fazer a soma de dois vetores basta desenharmos um vetor seguido do outro, respeitando o sentido de cada um deles. Assim, o vetor soma será o vetor que vai da origem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor.

Mas e quando não dá para fazer esse arranjo?

Quando não conseguimos colocar a extremidade de um vetor na origem do outro, usaremos a regra do paralelogramo! Se liga na figura aqui de baixo:

É só traçar duas retas, formando um paralelogramo, até elas se encontrarem! Quando isso acontecer, o vetor soma, também conhecido como resultante, será a diagonal do paralelogramo formado.

s → = R →

Mas, se estivermos no plano cartesiano, nem precisamos desenhar os vetores, pois a soma de dois vetores é só somar as coordenadas de cada vetor. Por exemplo:

u → = x 1 ,   y 1 ,   z 1       e     v → = x 2 ,   y 2 ,   z 2      

s → =   u → + v → = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + x 2 ,   y 2 ,   z 2      

s → = (   x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 ,   z 1 + z 2 )

Vou deixar aqui também algumas propriedades da soma de vetores pra você saber:  

  • Comutativa: u → + v → = v → + u →
  • Associativa: u → + v → + w → = u → + v → + w →
  • Diferença

    Outra operação é a diferença de vetores. Não deixa de ser uma soma, o que muda é que na diferença usaremos vetores opostos, assim oh:

    Acima está representado a seguinte diferença:

    d → = u → - v → = u → + ( - v → )

    A regra do paralelogramo também vale aqui!!

    No qual  R → é o vetor resultante que, nesse caso, representa a subtração dos vetores   u → e   v → .

    R → = d → = u → - v →

    Na verdade, isso é a soma do vetor u → com o vetor - v → . Então para fazer a soma devemos desenhar o oposto do vetor v → . Ou, se temos os vetores no plano cartesiano, basta fazer:

    d → =   u → - v → = x 1 ,   y 1 ,   z 1 - x 2 ,   y 2 ,   z 2 = ( x 1 - x 2 ,   y 1 - y 2 ,   z 1 -   z 2 )    

    Multiplicação por um número real

    Temos também a multiplicação de um vetor por um número real k . Quando multiplicamos um vetor por um número real a sua direção não é alterada. Entretanto, o seu sentido e o seu módulo podem ser alterados.

    Como mostra a figura, temos o vetor u → . Se multiplicarmos por k = 2 obteremos o 2 u → , que possui mesmo sentido de u → , mas o comprimento é o dobro.

    Já se u → é multiplicado por k = - 2 , obtemos o vetor - 2 u → que possui sentido contrário ao de u → e o dobro do comprimento de u → . Para a base cartesiana, teríamos:

    k u → = k x 1 ,   y 1 ,   z 1 = k x 1 ,   k y 1 ,   k z 1

    Propriedades da multiplicação por um número real:

  • a b u → = a b u →  
  • a + b u → = a u → + b u →
  • a u → + v → = a u → + a v →

Decomposição de vetores

O que veremos agora, não é exatamente uma operação, mas sim uma decomposição de vetores.

Mas o que quer dizer decomposição?

Bom, significa dizer que um vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores. Como mostra a figura a seguir:

w → = a u → + b v →

Já vimos o que é um vetor, sua definição e como realizar operações com vetores!! Agora, vamos ver alguns conceitos que serão importantes para resolvermos muitos exercícios!

O que são vetores colineares? E vetores coplanares?

Não sabe?! Então, relaxa, que vais aprender agora!

Dois vetores são colineares se possuem a mesma direção. Não entendeu?...é a mesma coisa que falarmos que dois vetores são colineares se eles são parte de uma mesma reta ou de retas paralelas.

Já, três ou mais vetores são coplanares se pertencem ao mesmo plano.

É isso! Vamos praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 3-1.

Dados os vetores u → e v → da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor:

  1. u → - v →
  2. v → - u →
  3. - v → - 2 u →
  4. 2 u → - 3 v →
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício nos deu o desenho dos dois vetores que devemos considerar. Com esse desenho devemos realizar operações entre vetores. Aqui, como foi nos pedido devemos desenhar os vetores.

Passo 2

  1. Temos que achar o vetor que é   u → - v →
  2. Para resolver esse item, temos que lembrar que - v → =   -   + v → , ou seja, o vetor v →   no sentido oposto.

    Podemos também transladar o vetor - v → sem mudar o módulo, e sentido do vetor:

    Dessa forma, podemos fazer a soma de vetores:

      u → - v → = u →   +   - v →

    Prontinho, conseguimos o vetor   u → - v → , seguimos os seguintes passos:

    Passo 3

  3. Agora, o vetor a ser encontrado é v → - u →
  4. Da mesma forma do item (a), vamos transladar o vetor u → e encontrar o vetor - u → :

    Agora podemos encontrar a soma de vetores:

    v → - u → = v → + - u →

    Passo 4

  5. Próximo vetor: - v → - 2 u →
  6. Primeiro vamos encontrar o vetor - v → e - 2 u → :

    Agora podemos encontrar a soma de vetores:

    - v → - 2 u →   = - v → - 2 u →

    Passo 5

  7. Desenhar 2 u → - 3 v →

Até então, estávamos usando a proporção dos quadrados 1 : 1 , mas como a figura ficaria muito grande fizemos que 1 quadriculado equivale a 2   u .

Primeiro, vamos encontrar os vetores para soma :

Podemos transladar o vetor 2 u → para a esquerda para podermos encontrar a soma mais facilmente:

2 u → - 3 v → = 2 u →   + - 3 v →

Show de bola?!

Resposta

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 14-3.

Sabendo que o ângulo entre os vetores u → e v → é de 60 ° , determinar o ângulo formado pelos vetores:

  1. u → e - v →
  2. - u → e v →
  3. - u → e - v →
  4. 2 u → e 3 v →
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado nos diz que o ângulo entre os vetores u → e v → é de 60 ° . Então, temos que:

Queremos determinar,a gora, o ângulo entre diferentes vetores. Para isso, vamos utilizar o método das figuras, ou seja, vamos desenhar os vetores, para achar os ângulos.

  1. O primeiro ângulo, é entre os vetores u → e - v →
  2. θ + 60 ° = 180 °

    θ = 120 °

    Passo 2

  3. Próximo ângulo é entre - u → e v →
  4. θ + 60 ° = 180 °

    θ = 120 °

    Passo 3

  5. Ângulo entre os vetores - u → e - v →
  6. θ = 60 °

    Passo 4

  7. Ângulo entre 2 u → e 3 v →

θ = 60 °

Resposta

  1. θ = 120 ° , b) θ = 120 ° , c) θ = 60 ° e d) θ = 60 °

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 22-2.

Encontrar os números a 1 e a 2 tais que

w → = a 1 u → + a 2 v → , sendo u → = 1 ,   2 ,   v → = ( 4 ,   - 2 ) e w → = ( - 1 ,   8 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa!! Agora o exercício ficou um pouco diferente!! Não é preciso desenhar para conseguirmos chegar no resultado, pois os vetores são dados na base cartesiana.

Então, é só somarmos as coordenadas!!

Bom, o problema nos dá um vetor w → que é combinação linear, ou seja, é a soma de dois outros vetores: u →   e   v → . Mas, ele não quer saber quem é w → , pois sabemos quem é w → , u →   e   v → . O problema quer os valores das constante a 1   e   a 2 , para que o vetor w → possa ser uma combinação linear dos outros dois vetores.

Passo 2

Então, vamos colocar na expressão os dados que o enunciado nos deu:

w → = a 1 u → + a 2 v → → - 1 ,   8 = a 1 1 ,   2 + a 2 ( 4 ,   - 2 )

Essa, expressão é uma operação entre vetores. Então, vamos somar as componentes correspondentes e depois igualar, beleza?

Passo 3

Vamos lá, então!

- 1 ,   8 = a 1 1 ,   2 + a 2 4 ,   - 2 → - 1 ,   8 = ( a 1 + 4 a 2 ,   2 a 1 - 2 a 2 )

Dá expressão acima, temos duas expressões igualando os lados com as coordenadas.

a 1 + 4 a 2 = - 1

2 a 1 - 2 a 2 = 8

Agora, é só resolver esse sisteminha de equações, que chegamos em:

a 1 = 3   e   a 2 = - 1

Resposta

a 1 = 3   e   a 2 = - 1

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 37-9.

Determinar o vetor v → sabendo que 3 ,   7 ,   1 + 2 v → = 6 ,   10 ,   4 - v → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, nesse problema temos uma expressão, e nela temos o vetor v → que queremos descobrir.

Passo 2

Como não sabemos quem é v → vamos supor que ele é:

v → = ( x ,   y ,   z )

Supondo o v → vamos colocá-lo na expressão que nos é dada:

3 ,   7 ,   1 + 2 ( x ,   y ,   z ) = 6 ,   10 ,   4 - ( x ,   y ,   z )

Pronto, se avaliarmos essa expressão é como se tivéssemos uma soma de vetores sendo igual a outra soma de vetores. Então, como estamos trabalhando com vetores, podemos fazer o mesmo que fizemos na questão anterior, somar componente a componente e depois igualar.

Passo 3

Então teremos,

3 ,   7 ,   1 + 2 ( x ,   y ,   z ) = 6 ,   10 ,   4 - ( x ,   y ,   z )

3 + 2 x ,   7 + 2 y ,   1 + 2 z = 6 - x ,   10 - y ,   4 - z

Igualando os lados com as respectivas coordenadas:

3 + 2 x = 6 - x → x = 1

7 + 2 y = 10 - y   → y = 1

1 + 2 z = 4 - z → z = 1

Temos que:

v → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

v → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 37-13.

Calcular a e b de modo que os pontos A 3 ,   1 , - 2 ,   B ( 1 ,   5 ,   1 ) e C ( a ,   b ,   7 ) sejam colineares.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como dados 3 pontos: A ,   B   e   C . Sendo que o ponto C possui incógnitas nas suas coordenas e devemos determina-las. Para determinar a   e   b devemos forçar os pontos a serem colineares.

Passo 2

Bom, pela teoria, sabemos que dois vetores são colineares quando estão na mesma direção, estando sobre a mesma reta ou paralelos. Vamos representar na mesma reta:

Então, como pela teoria temos que dois vetores são colineares ou paralelos se são múltiplos entre si, então temos que:

A B   → =   k A C →

Poderíamos, ter escolhido outros vetores que o resultado não se alteraria.

Só precisamos então determinar os vetores e igualar as coordenadas.

A B   → =   B - A = 1 ,   5 ,   1 - 3 ,   1 ,   - 2 = ( - 2 ,   4 ,   3 )

A C → = C - A = a ,   b ,   7 - 3 ,   1 ,   - 2 = ( a - 3 ,   b - 1 ,   9 )

Passo 3

Agora, só igualar:

A B   → =   A C → → - 2 ,   4 ,   3 = k ( a - 3 ,   b - 1 ,   9 )

- 2 = k ( a - 3 )

4 = k ( b - 1 )

3 = 9 k → k = 1 3

Determinado k , conseguimos descobrir a   e   b .

4 = 1 3 b - 1 → b = 13

- 2 = 1 3 a - 3 → a = - 3

Resposta

a = - 3   e   b = 13

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 37-3.

Dados os pontos A - 1 ,   3 ,   B ( 2 ,   5 ) e C ( 3 ,   - 1 ) , calcular O A → - A B → ,   O C → - B C → e 3 B A → - 4 C B → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse problema, nos é dado pontos. Precisamos determinar a diferença entre vetores.

Como vimos na teoria, quando temos as coordenadas, dadas no plano cartesiano, não precisamos ficar desenhando os vetores como fizemos nos primeiros exercícios do capítulo. Basta, calcular os vetores e para realizar a operação entre eles é só realizar coordenada a coordenada. Achou confuso? Então, vamos devagar!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todos os vetores que vamos precisar, que são: O A → ,   A B → ,   O C → , B C → e B A → ,   C B → . Mas, pera!! Os pontos dados foram A , B   e   C , quem é o O ?

O O indica a origem do plano cartesiano, vamos dizer, que é uma convenção. Assim, sempre que você ver O você já sabe que é o ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) ;).

Sabendo disso, agora conseguimos calcular todos os vetores.

Vamos começar, que não são poucos hehe.

O A → = A - O = - 1 ,   3 - 0,0 = ( - 1 ,   3 )

A B → = B - A = 2 ,   5 - - 1 ,   3 = ( 3 ,   2 )

O C → = C - O = 3 ,   - 1 - 0,0 = ( 3 ,   - 1 )

B C → = C - B = 3 ,   - 1 - 2 ,   5 = ( 1 ,   - 6 )

B A → = A - B = - 1 ,   3 - 2 ,   5 = ( - 3 ,   - 2 )

C B → = B - C = 2 ,   5 - 3 ,   - 1 = ( - 1 ,   6 )

Passo 3

Pronto agora já temos todos os vetores! É só começar a encontrar os vetores pedidos. O primeiro é O A → - A B → .

O A → - A B → = - 1 ,   3 - 3 ,   2 = ( - 4 ,   1 )

O A → - A B → = ( - 4 ,   1 )

O segundo é O C → - B C → ,

O C → - B C → = 3 ,   - 1 - 1 ,   - 6 = ( 2 ,   5 )

O C → - B C → = ( 2 ,   5 )

O último 3 B A → - 4 C B → .

3 B A → - 4 C B → = 3 - 3 ,   - 2 - 4 - 1 ,   6 = ( - 5 ,   - 30 )

3 B A → - 4 C B → = ( - 5 ,   - 30 )

Resposta

O A → - A B → = ( - 4 ,   1 )

O C → - B C → = ( 2 ,   5 )

3 B A → - 4 C B → = ( - 5 ,   - 30 )

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 24-3.

Dados os pontos A - 1 ,   2 ,   B ( 3 ,   - 1 ) e C ( - 2 ,   4 ) , determinar D ( x , y ) de modo que C D → = 1 2 A B → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nos é dado uma igualdade de vetores, e pontos. Sendo que os vetores dependem desses pontos. Mas, falta o ponto D que é o que queremos determinar.

Dados: Pontos A - 1 ,   2 B ( 3 ,   - 1 ) C - 2 ,   4 D ( x ,   y ) C D → = 1 2 A B →

O ponto D é uma suposição apenas.

Passo 2

A igualdade possui dois vetores: C D →   e   A B → . Mas, quem são esses vetores, suas coordenadas?

Pela teoria vimos que esses vetores são a subtração de seus pontos extremos, então temos que:

A B → = B - A = 3 ,   - 1 - - 1 ,   2 = ( 4 ,   - 3 )

C D → = D - C = x ,   y - - 2 ,   4 = ( x + 2 ,   y - 4 )

Passo 3

Agora que já temos os vetores que precisamos, é só usar a igualdade que nos foi dada.

C D → = 1 2 A B → → x + 2 ,   y - 4 = 1 2 ( 4 ,   - 3 )

x + 2 ,   y - 4 = 2 ,   - 3 2

Igualando as coordenadas correspondentes, temos:

x + 2 = 2 → x = 0

y - 4 = - 3 2 →     y = 5 / 2