Operações com Vetores

Teoria Completa

Os vetores, assim como os números, também podem ser somados, subtraídos, multiplicados ...

Então agora, vou mostrar para vocês exatamente como essas operações são feitas nos vetores! Simbora!

Soma

Uma das operações que podemos realizar com vetores é a soma de vetores. Se temos, por exemplo, dois vetores u →   e   v → , qual a soma desses dois vetores? Consideremos a figura abaixo:

Então, pela figura temos que s → =   u → + v → . Como podemos ver na figura, para fazer a soma de dois vetores basta desenharmos um vetor seguido do outro, respeitando o sentido de cada um deles. Assim, o vetor soma será o vetor que vai da origem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor.

Mas e quando não dá para fazer esse arranjo?

Quando não conseguimos colocar a extremidade de um vetor na origem do outro, usaremos a regra do paralelogramo! Se liga na figura aqui de baixo:

É só traçar duas retas, formando um paralelogramo, até elas se encontrarem! Quando isso acontecer, o vetor soma, também conhecido como resultante, será a diagonal do paralelogramo formado.

s → = R →

Mas, se estivermos no plano cartesiano, nem precisamos desenhar os vetores, pois a soma de dois vetores é só somar as coordenadas de cada vetor. Por exemplo:

u → = x 1 ,   y 1 ,   z 1       e     v → = x 2 ,   y 2 ,   z 2      

s → =   u → + v → = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + x 2 ,   y 2 ,   z 2      

s → = (   x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 ,   z 1 + z 2 )

Vou deixar aqui também algumas propriedades da soma de vetores pra você saber:  

  • Comutativa: u → + v → = v → + u →
  • Associativa: u → + v → + w → = u → + v → + w →
  • Diferença

    Outra operação é a diferença de vetores. Não deixa de ser uma soma, o que muda é que na diferença usaremos vetores opostos, assim oh:

    Acima está representado a seguinte diferença:

    d → = u → - v → = u → + ( - v → )

    A regra do paralelogramo também vale aqui!!

    No qual  R → é o vetor resultante que, nesse caso, representa a subtração dos vetores   u → e   v → .

    R → = d → = u → - v →

    Na verdade, isso é a soma do vetor u → com o vetor - v → . Então para fazer a soma devemos desenhar o oposto do vetor v → . Ou, se temos os vetores no plano cartesiano, basta fazer:

    d → =   u → - v → = x 1 ,   y 1 ,   z 1 - x 2 ,   y 2 ,   z 2 = ( x 1 - x 2 ,   y 1 - y 2 ,   z 1 -   z 2 )    

    Multiplicação por um número real

    Temos também a multiplicação de um vetor por um número real k . Quando multiplicamos um vetor por um número real a sua direção não é alterada. Entretanto, o seu sentido e o seu módulo podem ser alterados.

    Como mostra a figura, temos o vetor u → . Se multiplicarmos por k = 2 obteremos o 2 u → , que possui mesmo sentido de u → , mas o comprimento é o dobro.

    Já se u → é multiplicado por k = - 2 , obtemos o vetor - 2 u → que possui sentido contrário ao de u → e o dobro do comprimento de u → . Para a base cartesiana, teríamos:

    k u → = k x 1 ,   y 1 ,   z 1 = k x 1 ,   k y 1 ,   k z 1

    Propriedades da multiplicação por um número real:

  • a b u → = a b u →  
  • a + b u → = a u → + b u →
  • a u → + v → = a u → + a v →

Decomposição de vetores

O que veremos agora, não é exatamente uma operação, mas sim uma decomposição de vetores.

Mas o que quer dizer decomposição?

Bom, significa dizer que um vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores. Como mostra a figura a seguir:

w → = a u → + b v →

Já vimos o que é um vetor, sua definição e como realizar operações com vetores!! Agora, vamos ver alguns conceitos que serão importantes para resolvermos muitos exercícios!

O que são vetores colineares? E vetores coplanares?

Não sabe?! Então, relaxa, que vais aprender agora!

Dois vetores são colineares se possuem a mesma direção. Não entendeu?...é a mesma coisa que falarmos que dois vetores são colineares se eles são parte de uma mesma reta ou de retas paralelas.

Já, três ou mais vetores são coplanares se pertencem ao mesmo plano.

É isso! Vamos praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 3-1.

Dados os vetores u → e v → da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor:

  1. u → - v →
  2. v → - u →
  3. - v → - 2 u →
  4. 2 u → - 3 v →
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Passo 1

O exercício nos deu o desenho dos dois vetores que devemos considerar. Com esse desenho devemos realizar operações entre vetores. Aqui, como foi nos pedido devemos desenhar os vetores.

Passo 2

  1. Temos que achar o vetor que é   u → - v →
  2. Passo 3

  3. Agora, o vetor a ser encontrado é v → - u →
  4. Passo 4

  5. Próximo vetor: - v → - 2 u →
  6. Passo 5

  7. Desenhar 2 u → - 3 v →

Até então, estávamos usando a proporção dos quadrados 1 : 1 , mas como a figura ficaria muito grande fizemos que 1 quadriculado equivale a 2   u .

Resposta

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 14-3.

Sabendo que o ângulo entre os vetores u → e v → é de 60 ° , determinar o ângulo formado pelos vetores:

  1. u → e - v →
  2. - u → e v →
  3. - u → e - v →
  4. 2 u → e 3 v →
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Passo 1

O enunciado nos diz que o ângulo entre os vetores u → e v → é de 60 ° . Então, temos que:

Queremos determinar,a gora, o ângulo entre diferentes vetores. Para isso, vamos utilizar o método das figuras, ou seja, vamos desenhar os vetores, para achar os ângulos.

  1. O primeiro ângulo, é entre os vetores u → e - v →
  2. θ + 60 ° = 180 °

    θ = 120 °

    Passo 2

  3. Próximo ângulo é entre - u → e v →
  4. θ + 60 ° = 180 °

    θ = 120 °

    Passo 3

  5. Ângulo entre os vetores - u → e - v →
  6. θ = 60 °

    Passo 4

  7. Ângulo entre 2 u → e 3 v →

θ = 60 °

Resposta

  1. θ = 120 °