Produto Vetorial

Teoria Completa

Produto Vetorial

Você comprou seu apartamento na planta. Como você gosta de economizar, queria saber quanto de piso precisava comprar para revestir a sua sala e poder fazer uma pesquisa de preço. Se você pudesse entrar no apartamento pegaria uma trena e mediria a largura e o comprimento da sala. Então, a área seria:

A = l a r g u r a   x   c o m p r i m e n t o

Mas, você só tinha a planta do seu apartamento. E ainda por cima, essa planta era meio maluca, porque nela não possuia o tamanho da sala em m 2 , mas o engenheiro era meio pirado e resolveu te dar apenas os vetores diretores da sala. Vetores??? Como assim?

Fica tranquilo, que vamos te ensinar como calcular a área usando vetores. Vem comigo!!!

Para isso vamos aprender uma ferramenta matemática chamada “Produto Vetorial”.

O produto vetorial, é o produto entre dois vetores, por exemplo, vamos dizer que os vetores diretores da sua sala são:

u → = 1 ,   2 ,   1     e     v → = ( 2 ,   3 ,   2 )

O produto vetorial entre eles seria indicado por u → × v → ou u →   Λ   v → . E como resolve?

Bem, para resolver vamos montar primeiro o determinante. Assim, ô

Na primeira linha, você sempre vai colocar os vetores da base cartesiana que indicam o x ,   y   e   z . No caso, estamos chamando de i → ,   j → e k → os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

A segunda e a terceira são as componentes dos vetores u →   e   v → , sendo que eles tem que estar na ordem.

Aí para resolver, faz-se como para determinantes.

u → × v → = i → + 0 j → - k →

Tá, mas o que é esse negócio estranho aí??

Lembra que eu falei que esses vetores i → ,   j → e k → são os unitários nas direções dos eixos x, y e z respectivamente??

Então temos 1 na direção x, 0 na direção y e -1 na direção z (são os coeficientes da equação que achamos).

Looogo:

u → × v → = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Pronto, calculamos o produto vetorial de u → × v → e olha o que descobrimos, o produto vetorial de dois vetores, gera um outro vetor. Agora saquei!! Por isso, então, que o produto se chama “vetorial” ? Isso mesmo!!

Legal!!! E quais são as propriedades??

São as seguintes:

  • u → × u → = 0 , qualquer que seja u → .
  • u → × v → = - v → × u → , o produto vetorial não é comutativo.
  • u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →
  • u → × v → = 0 → se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se u →   e   v → são colineares.
  • u → × v → é ortogonal simultaneamente aos vetores u →   e   v → .
  • O produto vetorial não é associativo: u → × ( v → × w → ) ≠ ( u → × v → ) × w →

Tem uma coisa que eu ainda não entendi!! Como eu acho a área da minha sala?

Vamos mostrar agoraaaa!!!

Falamos em como achar o produto vetorial, certo? Mas, ainda não falamos sobre o módulo do produto vetorial!!

O módulo do produto vetorial, por definição, é:

u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

Vamos dar uma olhada no desenho abaixo:

Se quisermos calcular a área do paralelogramo A B C D , faremos:

A = b a s e   x   a l t u r a = u → v → sin ⁡ θ

Olha!! O módulo do produto vetorial corresponde a área do paralelogramo.

Então, quanto seria a área da sala do seu apartamento que você comprou?

Como já calculamos que u → × v → corresponde ao vetor ( 1 ,   0 ,   - 1 )   , então é só calcular o módulo do vetor que encontramos:

u → × v → = 1 2 + 0 2 + ( - 1 ) 2 = 2   u . a

Obs: u . a é só uma nomenclatura que utilizamos para nos referir a unidade de área ;).

Lembrando que se tivéssemos o ângulo entre os vetores e não tivéssemos calculado já o produto vetorial, podíamos achar o mesmo resultado pela fórmula:

u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

Para finalizar:

Cuidado!! O produto vetorial gera um vetor, e o seu módulo gera um número escalar, então, não ache que u → × v → = u → v → sin ⁡ θ , pois isso NÃO É VERDADE.

Ufa!! Agora, você já manja de Produto Vetorial, mas para ficar expert bora praticar!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 90-1.

Calcule u → × v → sendo u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) (referidos a uma base ortonormal positiva ( i → ,   j → ,   k → ) ).

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Passo 1

Vamos aquecer os motores!!!

Bom, o problema pede para calcularmos o produto vetorial u → × v → , sendo que nos é dado os vetores u →   e   v → . Até aí eu entendi!! Mas, e o que quer dizer a frase “referidos a uma base ortonormal positiva ( i → , j → ,   k → ) ”?

Bem, ela só nos diz que devemos considerar a base cartesiana, é mais para reforçar mesmo, porque dificilmente trabalhamos com outras bases, só mais para frente veremos. Mas, isso vemos depois, foco aqui!

Passo 2

Agora é aplicar o que vimos na teoria, montar o determinante direitinho e depois resolvê-lo.

Então,

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Lembrando, o produto gera um vetor.

Resposta

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-50.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →
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Passo 1

São nos dados vetores na base cartesiana. E pede para que representemos num gráfico. Para cada um teremos que calcular o produto vetorial entre os vetores dados e depois desenhar num gráfico. Temos duas formas de fazer isso. Em cada item será apresentada uma forma.

Passo 2

  1. Primeira maneira de se resolver: Maneira analítica
  2. No item a nos é dado j → × 2 i → . Pode parecer uma representação esquisita, mas ela está na base cartesiana, ou seja:

  • i → indica a coordenada x .
  • j → indica a coordenada y .
  • k → indica a coordenada z .

Assim, é nos dado o seguinte produto vetorial:

j → = ( 0 ,   1 ,   0 )

2 i → = ( 2 ,   0 ,   0 )

Agora que sabemos a representação mais comum a nós, vamos fazer o produto vetorial:

j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )

Passo 3

  • Segunda maneira: Mais prática
  • Agora que já sabemos interpretar a representação cartesiana, fica mais tranquilo identificarmos os vetores 3 i →   e   2 k → .

    Se dominamos a regra da mão direita e a base cartesiana, esse jeito pode ser mais rápido.

    Bom, primeiro, sabemos que os versores i → ,   j →   e   k → da base cartesiana são ortogonais entre si, então, pela regra da mão direita sabemos que:

    i → × k → = - j →

    A direção e o sentido do nosso produto vetorial nós já achamos, simplemente aplicando a regra da mão direita. Mas, qual o módulo?

    Bom, sabemos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ θ

    Como sabemos, o Ângulo entre i → e k → é 90 ° , assim temos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ 90 °

    3 i →   × 2 k → = 3.2 . 1 = 6

    Então,

    3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Resposta

    1. j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )
    2. 3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Exercício Resolvido #3

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 73-18.

    Dados os vetores u → = 1 ,   2 ,   - 1   e     v → = 0 ,   - 1 ,   3 , calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores   3 u →     e       v → -   u → .

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    Passo 1

    O enunciado nos pede para clacular a área do paralelogramo formado pelos vetores 3 u →     e   v → -   u → . Sabemos da teoria que a área é o módulo do produto vetorial | 3 u → × ( v → -   u → ) | .

    Passo 2

    Então, vamos calcular o produto vetorial primeiro e depois fazemos o módulo do vetor encontrado. Para isso vamos determinar os vetores 3 u →     e       v → -   u → .

    3 u → = ( 3 ,   6 ,   - 3 )

      v → -   u → = 0 ,   - 1 ,   3 - 1 ,   2 ,   - 1 = ( - 1 ,   - 3 ,   4 )