Produto Vetorial

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Teoria

Opa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre produto vetorial?

O que é um Produto Vetorial?

O produto vetorial é utilizado quando queremos multiplicar vetores! Se liga só:

Produto Vetorial entre dois vetores
Produto Vetorial entre dois vetores

A multiplicação dos vetores e gera um novo vetor que é representado pela notação . MAS CUIDADO!! Não estamos falando de multiplicação escalar, as regras aqui são outras!

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Como Calcular o Produto Vetorial entre Dois Vetores

Vamos imaginar os seguintes vetores diretores:

Podemos escreve-los da seguinte forma:

Cálculo do Produto vetorial entre dois vetores
Cálculo do Produto vetorial entre dois vetores

Pra calcular o produto vetorial entre esses dois vetores, só precisamos calcular o determinante:

Cálculo do Produto vetorial entre dois vetores: Determinante
Cálculo do Produto vetorial entre dois vetores: Determinante

Logo o nosso produto vetorial é igual a:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Propriedades do Produto Vetorial

Pra finaliza vamos dar uma olhada nas propriedades do produto vetorial!

O produto vetorial entre dois vetores iguais é igual a zero

Podemos escrever que para qualquer .

O produto vetorial não é comutativo

Isso quer dizer que é diferente de !

O produto vetorial é não é Associativo

Ou seja é igual a .

O produto vetorial é distributivo

Ou seja é igual a .

Vetores colineares ou nulo

Podemos escrever que se, e somenete se, e forem colineares.

Vetores ortogonais

O produto vetorial é ortogonal aos vetores e simultaneamente.

Agora vamos praticar com exercícios?

Propriedades do Produto Vetorial

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule u → × v → sendo u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) (referidos a uma base ortonormal positiva ( i → ,   j → ,   k → ) ).

Passo 1

Vamos aquecer os motores!!!

Bom, o problema pede para calcularmos o produto vetorial u → × v → , sendo que nos é dado os vetores u →   e   v → . Até aí eu entendi!! Mas, e o que quer dizer a frase “referidos a uma base ortonormal positiva ( i → , j → ,   k → ) ”?

Bem, ela só nos diz que devemos considerar a base cartesiana, é mais para reforçar mesmo, porque dificilmente trabalhamos com outras bases, só mais para frente veremos. Mas, isso vemos depois, foco aqui!

Passo 2

Agora é aplicar o que vimos na teoria, montar o determinante direitinho e depois resolvê-lo.

Então,

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Lembrando, o produto gera um vetor.

Resposta

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Exercício Resolvido #2

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →

Passo 1

São nos dados vetores na base cartesiana. E pede para que representemos num gráfico. Para cada um teremos que calcular o produto vetorial entre os vetores dados e depois desenhar num gráfico. Temos duas formas de fazer isso. Em cada item será apresentada uma forma.

Passo 2

  1. Primeira maneira de se resolver: Maneira analítica
  2. No item a nos é dado j → × 2 i → . Pode parecer uma representação esquisita, mas ela está na base cartesiana, ou seja:

  • i → indica a coordenada x .
  • j → indica a coordenada y .
  • k → indica a coordenada z .

Assim, é nos dado o seguinte produto vetorial:

j → = ( 0 ,   1 ,   0 )

2 i → = ( 2 ,   0 ,   0 )

Agora que sabemos a representação mais comum a nós, vamos fazer o produto vetorial:

j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )

Passo 3

  • Segunda maneira: Mais prática
  • Agora que já sabemos interpretar a representação cartesiana, fica mais tranquilo identificarmos os vetores 3 i →   e   2 k → .

    Se dominamos a regra da mão direita e a base cartesiana, esse jeito pode ser mais rápido.

    Bom, primeiro, sabemos que os versores i → ,   j →   e   k → da base cartesiana são ortogonais entre si, então, pela regra da mão direita sabemos que:

    i → × k → = - j →

    A direção e o sentido do nosso produto vetorial nós já achamos, simplemente aplicando a regra da mão direita. Mas, qual o módulo?

    Bom, sabemos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ θ

    Como sabemos, o Ângulo entre i → e k → é 90 ° , assim temos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ 90 °

    3 i →   × 2 k → = 3.2 . 1 = 6

    Então,

    3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Resposta

    1. j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )
    2. 3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Exercício Resolvido #3

    Dados os vetores u → = 1 ,   2 ,   - 1   e     v → = 0 ,   - 1 ,   3 , calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores   3 u →     e       v → -   u → .

    Passo 1

    O enunciado nos pede para clacular a área do paralelogramo formado pelos vetores 3 u →     e   v → -   u → . Sabemos da teoria que a área é o módulo do produto vetorial | 3 u → × ( v → -   u → ) | .

    Passo 2

    Então, vamos calcular o produto vetorial primeiro e depois fazemos o módulo do vetor encontrado. Para isso vamos determinar os vetores 3 u →     e       v → -   u → .

    3 u → = ( 3 ,   6 ,   - 3 )

      v → -   u → = 0 ,   - 1 ,   3 - 1 ,   2 ,   - 1 = ( - 1 ,   - 3 ,   4 )

    Agora é montar o determinante!

    3 u → × v → -   u → = 15 i → - 9 j → - 3 k →

    3 u → × v → -   u → = ( 15 ,   - 9 ,   - 3 )

    Passo 3

    Como queremos a área é só calcular o módulo do vetor encontrado.

    3 u → × v → -   u → = 15 2 + ( - 9 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 3 35

    Então,

    A = 3 35   u . a

    Resposta

    A = 3 35   u . a

    Exercício Resolvido #4

    Sejam os vetores u → = 3 ,   1 ,   - 1   e     v → = a ,   0 ,   2 . Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u →     e     v →   seja igual a 2 6 .

    Passo 1

    O enunciado nos pede o valor de a para que o paralelogramo formado por u →     e     v → tenha área de 2 6   u . a .

    Como eu acho o a ?

    Bem, nós sabemos que a área do paralelogramo formado pelos vetores u →   e   v → é 2 6   u . a . Sabemos pela teoria que o módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo. Então, fazemos o produto vetorial e depois calculamos o módulo para achar a ;).

    Passo 2

    Então, vamos calcular primeiro o produto vetorial:

    u → × v → = ( 2 ,   - a - 6 ,   - a )

    Passo 3

    Temos o vetor resultante do produto vetorial, então agora é só calcularmos o módulo:

    u → × v → = 2 6 →   2 2 + ( - a - 6 ) 2 + a 2 = 2 6

    2 2 + - a - 6 2 + a 2 = 4.6 = 24

    2 a 2 + 12 a + 40 = 24

    a 2 + 6 a + 8 = 0

    Resolvendo a equação de 2º grau, chaga-se em:

    a = - 4     o u     a = - 2

    Resposta

    a = - 4     o u     a = - 2

    Exercício Resolvido #5

    Sabendo que   a → = 3 ,       b → = 2 e 45 ° é o ângulo entre a → e   b → , calcular |   a → ×   b → | .

    Passo 1

    O enunciado nos dá os seguintes dados:

      a → = 3               b → = 2             θ = 45 °

    E nos pede para calcular |   a → ×   b → |

    Passo 2

    Bem, vamos pensar!!! Esses dados não te fazem lembrar de uma relação que vimos lá na teoria?

    Tudo bem!!! Vamos relembrar ;).

    Olha essa relação:

    u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

    Uau!! Parece que nosso problema está resolvido uhuuuu...é só colocar na fórmula os dados e sair para o abraço .

    u → × v → = 3 . 2 sin ⁡ 45 ° = 3 2 . 2 2 = 3

    u → × v → = 3

    Resposta

    u → × v → = 3

    Exercício Resolvido #6

    Determinar o valor de m para que o vetor w → = 1 ,   2 ,   m seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

    Passo 1

    O problema nos fornece os seguintes dados:

    Dados: w → = 1 ,   2 ,   m ,   v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 )   e   v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .  

    Com esses dados, o exercício pede para determinarmos o valor de m para que o vetor w → seja ortogonal (forme 90 ° ) simultaneamente aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

    Buguei na parte que fala “simultaneamente ortogonal”!!!

    Vamos relembrar um detalhe que vai nos ajudar ;).

    Passo 2

    Na teoria vimos algumas propriedades do produto vetorial! Lembra? Pois é, eu sei que eram muitos, mas uma delas vai nos ajudar muito. Essa aqui!

    Matou a charada?

    Então, sabemos que o produto vetorial gera um vetor, e ainda a propriedade nos diz que esse vetor é simultaneamente ortogonal aos dois vetores que o formam. É tudo o que precisamos. Então, para acharmos m , precisamos forçar que w → = v 1 → × v 2 → ou também que w → = v 2 → × v 1 → , no caso iremos obter vetores oposto.

    Passo 3

    Então agora é mão na massa!!!

    w → = v 1 → × v 2 → = ( 1 ,   2 ,   - 5 )

    w → = 1 ,   2 ,   m = v 1 → × v 2 → → 1,2   ,   m = 1 ,   2 ,   - 5

    m = - 5

    Se você fizer w → = v 2 → × v 1 → , chegarás em:

    w → = v 2 → × v 1 → = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

    Nesse caso, a conta só vai fazer sentido com v 1 → × v 2 → , pois em v 2 → × v 1 → e igualando a w → , teremos:

    w → = ( 1 ,   2 ,   m ) = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

    1 ≠ - 1

    2 ≠ - 2

    Resposta

    m = - 5

    Exercício Resolvido #7

    Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 5.

    Passo 1

    O problema nos dá dois vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Com esses dois vetores devemos determinar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados e além disso, que seja unitário.

    Bom, no exercício anterior vimos que se realizarmos o produto vetorial entre v 1 → e v 2 → , o vetor resultante será ortogonal a esses dois vetores. Okay, essa parte já entendemos!! E o unitário onde entra nessa história?

    Calma!! Você vai entender tudinho!!

    Na teoria não chegamos a falar sobre o termo “unitário”, mas ele significa que o módulo do vetor deve ser unitário. Assim, esse vetor é chamado de “versor”. Para achar o vetor unitário basta calcular o seu módulo e dividir cada coordenada pelo seu módulo, assim oh:

    v → = x v → ,   y v → , z v →      

    Passo 2

    Agora, é fazermos as conta. Vamos começar resolvendo o produto vetorial v 1 →   × v 2 → :

    v 1 → × v 2 → = ( 3 , - 3 , - 3 )

    Achamos o vetor que queríamos, que é v → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) . Agora falta transformá-lo em unitário.

    Passo 3

    Então, para fazê-lo ter módulo unitário, vamos calcular primeiro o seu módulo, que é:

    v → = 3 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 27 = 3 3  

    O vetor unitário que estamos procurando será:

    v → = x v → ,   y v → , z v → → 3 3 3 ,   - 3 3 3 , - 3 3 3 = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3

    É bom lembrar que se considerarmos v 2 → × v 1 → , obteremos como resultado o oposto do vetor obtido anteriormente, pois:

    v 1 → × v 2 → = - v 2 → × v 1 →

    Passo 4

    Já temos o vetor unitário, agora queremos calcular um vetor de módulo cinco nas mesmas condições do anterior. Se nas mesmas condições do anterior podemos utilizar o resultado que temos.

    Vamos pensar um pouco... Se o vetor que encontramos é unitário, ou seja, seu módulo é unitário, então, isso significa que se multiplicarmos as suas coordenadas por 5 , o vetor passará a ter módulo 5 ?

    É exatamente isso. Então, o vetor de módulo 5   é:

    v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3

    Resposta

    V e t o r   U n i t á r i o :   v → = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3   o u   v → = - 1 3 ,   1 3 ,   1 3    

    V e t o r   m ó d u l o   5 :     v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3   o u   v 5 → = - 5 3 ,   5 3 , 5 3  

    Exercício Resolvido #8

    Calcular a área do triângulo de vértices A 1 ,   - 2 ,   1 ,   B 2 ,   - 1 ,   4   e   C - 1 ,   - 3 ,   3 .

    Passo 1

    Temos os vértices de um triângulo que são os pontos A , B   e   C . Com esses pontos devemos determinar a área do triângulo.

    Na teoria vimos como calcular a área de um paralelogramo, então sucesso, já sabemos como fazer. Opa! Mas, aqui é a aréa de um triângulo!!! Como faremos?

    Ahh precisamos de uma informação valiosa lá do colégio. Quando aprendemos que a área de um paralelogramo é duas vezes a área de um triângulo. Então, temos que:

    A t r i a n g u l o = 1 2 A p a r a l e l o g r a m o

    Passo 2

    Então, a área do paralelogramo sabemos calcular!

    Pela figura, temos os vértices do triângulo A ,   B   e   C . Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores A B →   e   A C → , sabemos pela teoria que equivale ao módulo do produto vetorial entre esses dois vetores:

    | A B → × A C | → = A p a r a l e l o g r a m o

    Então, primeiro precisamos calcular o produto vetorial. Mas, antes precisamos calcular os vetores A B →   e   A C → , pois foi nos dado os pontos apenas.

    A B → = B - A = 2 ,   - 1 ,   4 - 1 ,   - 2 ,   1 = 1 ,   1 ,   3

      A C → = C - A = - 1 ,   - 3 ,   3 - 1 ,   - 2 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   2 )

    Agora sim, podemos calcular o produto vetorial:

    A B → × A C → = ( 5 ,   - 8 ,   1 )

    Passo 3

    Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo do vetor, para encontrar a área do paralelogramo.

    | A B → × A C | → = 5 2 + - 8 2 + 1 2 = 9 0

    A p a r a l e l o g r a m o = 90 = 3 10

    Passo 4

    Mas, não é ainda o que queremos. Queremos a área do triângulo que como falamos antes é:

    A t r i a n g u l o = 1 2 A p a r a l e l o g r a m o

    Então, temos que A p a r a l e l o g r a m o = 3 10 . Assim:

    A t r i a n g u l o = 3 10 2   u . a

    Depois de fazermos as contas, vamos fazer um questionamento: E se, tivéssemos utilizado, outros vetores, como, por exemplo, B C →   e   C A → alteraria nosso resultado?

    O resultado deve ser o mesmo, pois o resultado final é dado em módulo, e esse é igual para qualquer vetor considerado.

    Resposta

    A t r i a n g u l o = 3 10 2   u . a

    Exercício Resolvido #9

    Calcular x , sabendo que A x ,   1 ,   1 ,   B 1 ,   - 1 ,   0     e     C 2 ,   1 ,   - 1 são vértices de um triângulo de área 29 2 .

    Passo 1

    Esse exercício é meio que o inverso do anterior, pois é nos dado os pontos que formam o triângulo e também é nos dada a área do triângulo. Então, o que devemos descobrir é a coordenada x do ponto A para que o triângulo tenha área 29 2 .

    Sabemos que o módulo do produto vetorial entre os vetores A B →   e   A C → nos dará a área do paralelogramo, e que a área do paralelogramo é duas vezes a do triangulo, então temos que:

    A t r i a n g u l o = 29 2 →   A p a r a l e l o g r a m o = 29

    Passo 2

    Sabendo a área do paralelogramo, sabemos quanto deve dar o módulo do produto vetorial entre A B →   e   A C → . Então, vamos calcular o produto vetorial, mas primeiro vamos achar os vetores que precisamos.

    A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   0 - x ,   1 ,   1 = 1 - x ,   - 2 ,   - 1

      A C → = C - A = 2 ,   1 ,   - 1 - x ,   1 ,   1 = ( 2 - x ,   0 ,   - 2 )

    = 4 i → - ( 2 - x ) j → + 0 k → - - 2 2 - x k → + 0 i → - 2 1 - x j → = 4 i → + - x j → + ( 4 - 2 x ) k →

    A B → × A C → = 4 i → + - x j → + ( 4 - 2 x ) k →

    Passo 3

    Já temos o produto vetorial. Agora, é calcular o módulo e igualar com a área do paralelogramo que já descobrimos quanto vale:

    A B → × A C → = 4 2 + ( - x ) 2 + ( 4 - 2 x ) 2 = 29

    Resolvendo a igualdade acima, temos:

    16 + x 2 + ( 4 - 2 x ) 2 = 29

    16 + x 2 + 16 - 16 x + 4 x 2 = 29 →   5 x 2 - 16 x + 3 = 0

    Resolvendo a equação de 2º grau chegamos em duas soluções:

    x = 3     o u   x = 1 5

    Resposta

    x = 3     o u   x = 1 5

    Exercício Resolvido #10

    Prove que se   u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → =   0 → então   u → =   0 → ou v → =   0 → . Interprete geometricamente.

    Passo 1

    Esse exercício requer conhecimentos do produto escalar e do produto vetorial. Bem, o enunciado pede para provarmos que se dizemos que os vetores u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → =   0 → então   u → =   0 → ou v → =   0 → .

    Passo 2

    Vamos, analisar cada parte, começando por u → ∙   v → = 0 . Do produto escalar temos que:

    u → ∙   v → = u → v → cos ⁡ θ

    Se o enunciado nos diz que u → ∙   v → = 0 , então pela expressão acima temos três possibilidades:

    • O ângulo entre os vetores u →   e   v → , ou seja, θ = 90 ° .
    • u → = 0 →   u → = 0
    • v → = 0 →   v → = 0
    • Analisando a segunda afirmação u → ×   v → =   0 → e a relação do produto vetorial, temos :

      | u → ×   v → | = u →   v → sin ⁡ θ =   0