Produto Vetorial

Teoria Completa

Produto Vetorial

Você comprou seu apartamento na planta. Como você gosta de economizar, queria saber quanto de piso precisava comprar para revestir a sua sala e poder fazer uma pesquisa de preço. Se você pudesse entrar no apartamento pegaria uma trena e mediria a largura e o comprimento da sala. Então, a área seria:

A = l a r g u r a   x   c o m p r i m e n t o

Mas, você só tinha a planta do seu apartamento. E ainda por cima, essa planta era meio maluca, porque nela não possuia o tamanho da sala em m 2 , mas o engenheiro era meio pirado e resolveu te dar apenas os vetores diretores da sala. Vetores??? Como assim?

Fica tranquilo, que vamos te ensinar como calcular a área usando vetores. Vem comigo!!!

Para isso vamos aprender uma ferramenta matemática chamada “Produto Vetorial”.

O produto vetorial, é o produto entre dois vetores, por exemplo, vamos dizer que os vetores diretores da sua sala são:

u → = 1 ,   2 ,   1     e     v → = ( 2 ,   3 ,   2 )

O produto vetorial entre eles seria indicado por u → × v → ou u →   Λ   v → . E como resolve?

Bem, para resolver vamos montar primeiro o determinante. Assim, ô

Na primeira linha, você sempre vai colocar os vetores da base cartesiana que indicam o x ,   y   e   z . No caso, estamos chamando de i → ,   j → e k → os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

A segunda e a terceira são as componentes dos vetores u →   e   v → , sendo que eles tem que estar na ordem.

Aí para resolver, faz-se como para determinantes.

u → × v → = i → + 0 j → - k →

Tá, mas o que é esse negócio estranho aí??

Lembra que eu falei que esses vetores i → ,   j → e k → são os unitários nas direções dos eixos x, y e z respectivamente??

Então temos 1 na direção x, 0 na direção y e -1 na direção z (são os coeficientes da equação que achamos).

Looogo:

u → × v → = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Pronto, calculamos o produto vetorial de u → × v → e olha o que descobrimos, o produto vetorial de dois vetores, gera um outro vetor. Agora saquei!! Por isso, então, que o produto se chama “vetorial” ? Isso mesmo!!

Legal!!! E quais são as propriedades??

São as seguintes:

  • u → × u → = 0 , qualquer que seja u → .
  • u → × v → = - v → × u → , o produto vetorial não é comutativo.
  • u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →
  • u → × v → = 0 → se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se u →   e   v → são colineares.
  • u → × v → é ortogonal simultaneamente aos vetores u →   e   v → .
  • O produto vetorial não é associativo: u → × ( v → × w → ) ≠ ( u → × v → ) × w →

Tem uma coisa que eu ainda não entendi!! Como eu acho a área da minha sala?

Vamos mostrar agoraaaa!!!

Falamos em como achar o produto vetorial, certo? Mas, ainda não falamos sobre o módulo do produto vetorial!!

O módulo do produto vetorial, por definição, é:

u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

Vamos dar uma olhada no desenho abaixo:

Se quisermos calcular a área do paralelogramo A B C D , faremos:

A = b a s e   x   a l t u r a = u → v → sin ⁡ θ

Olha!! O módulo do produto vetorial corresponde a área do paralelogramo.

Então, quanto seria a área da sala do seu apartamento que você comprou?

Como já calculamos que u → × v → corresponde ao vetor ( 1 ,   0 ,   - 1 )   , então é só calcular o módulo do vetor que encontramos:

u → × v → = 1 2 + 0 2 + ( - 1 ) 2 = 2   u . a

Obs: u . a é só uma nomenclatura que utilizamos para nos referir a unidade de área ;).

Lembrando que se tivéssemos o ângulo entre os vetores e não tivéssemos calculado já o produto vetorial, podíamos achar o mesmo resultado pela fórmula:

u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

Para finalizar:

Cuidado!! O produto vetorial gera um vetor, e o seu módulo gera um número escalar, então, não ache que u → × v → = u → v → sin ⁡ θ , pois isso NÃO É VERDADE.

Ufa!! Agora, você já manja de Produto Vetorial, mas para ficar expert bora praticar!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 90-1.

Calcule u → × v → sendo u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) (referidos a uma base ortonormal positiva ( i → ,   j → ,   k → ) ).

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Passo 1

Vamos aquecer os motores!!!

Bom, o problema pede para calcularmos o produto vetorial u → × v → , sendo que nos é dado os vetores u →   e   v → . Até aí eu entendi!! Mas, e o que quer dizer a frase “referidos a uma base ortonormal positiva ( i → , j → ,   k → ) ”?

Bem, ela só nos diz que devemos considerar a base cartesiana, é mais para reforçar mesmo, porque dificilmente trabalhamos com outras bases, só mais para frente veremos. Mas, isso vemos depois, foco aqui!

Passo 2

Agora é aplicar o que vimos na teoria, montar o determinante direitinho e depois resolvê-lo.

Então,

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Lembrando, o produto gera um vetor.

Resposta

u → × v → = ( 1 , - 5 ,   3 )

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-50.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →
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Passo 1

São nos dados vetores na base cartesiana. E pede para que representemos num gráfico. Para cada um teremos que calcular o produto vetorial entre os vetores dados e depois desenhar num gráfico. Temos duas formas de fazer isso. Em cada item será apresentada uma forma.

Passo 2

  1. Primeira maneira de se resolver: Maneira analítica
  2. No item a nos é dado j → × 2 i → . Pode parecer uma representação esquisita, mas ela está na base cartesiana, ou seja:

  • i → indica a coordenada x .
  • j → indica a coordenada y .
  • k → indica a coordenada z .

Assim, é nos dado o seguinte produto vetorial:

j → = ( 0 ,   1 ,   0 )

2 i → = ( 2 ,   0 ,   0 )

Agora que sabemos a representação mais comum a nós, vamos fazer o produto vetorial:

j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )

Passo 3

  • Segunda maneira: Mais prática
  • Agora que já sabemos interpretar a representação cartesiana, fica mais tranquilo identificarmos os vetores 3 i →   e   2 k → .

    Se dominamos a regra da mão direita e a base cartesiana, esse jeito pode ser mais rápido.

    Bom, primeiro, sabemos que os versores i → ,   j →   e   k → da base cartesiana são ortogonais entre si, então, pela regra da mão direita sabemos que:

    i → × k → = - j →

    A direção e o sentido do nosso produto vetorial nós já achamos, simplemente aplicando a regra da mão direita. Mas, qual o módulo?

    Bom, sabemos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ θ

    Como sabemos, o Ângulo entre i → e k → é 90 ° , assim temos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ 90 °

    3 i →   × 2 k → = 3.2 . 1 = 6

    Então,

    3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Resposta

    1. j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )
    2. 3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Exercício Resolvido #3

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 73-18.

    Dados os vetores u → = 1 ,   2 ,   - 1   e     v → = 0 ,   - 1 ,   3 , calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores   3 u →     e       v → -   u → .

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    Passo 1

    O enunciado nos pede para clacular a área do paralelogramo formado pelos vetores 3 u →     e   v → -   u → . Sabemos da teoria que a área é o módulo do produto vetorial | 3 u → × ( v → -   u → ) | .

    Passo 2

    Então, vamos calcular o produto vetorial primeiro e depois fazemos o módulo do vetor encontrado. Para isso vamos determinar os vetores 3 u →     e       v → -   u → .

    3 u → = ( 3 ,   6 ,   - 3 )

      v → -   u → = 0 ,   - 1 ,   3 - 1 ,   2 ,   - 1 = ( - 1 ,   - 3 ,   4 )

    Agora é montar o determinante!

    3 u → × v → -   u → = 15 i → - 9 j → - 3 k →

    3 u → × v → -   u → = ( 15 ,   - 9 ,   - 3 )

    Passo 3

    Como queremos a área é só calcular o módulo do vetor encontrado.

    3 u → × v → -   u → = 15 2 + ( - 9 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 3 35

    Então,

    A = 3 35   u . a

    Resposta

    A = 3 35   u . a

    Exercício Resolvido #4

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 74-19.

    Sejam os vetores u → = 3 ,   1 ,   - 1   e     v → = a ,   0 ,   2 . Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u →     e     v →   seja igual a 2 6 .

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    Passo 1

    O enunciado nos pede o valor de a para que o paralelogramo formado por u →     e     v → tenha área de 2 6   u . a .

    Como eu acho o a ?

    Bem, nós sabemos que a área do paralelogramo formado pelos vetores u →   e   v → é 2 6   u . a . Sabemos pela teoria que o módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo. Então, fazemos o produto vetorial e depois calculamos o módulo para achar a ;).

    Passo 2

    Então, vamos calcular primeiro o produto vetorial:

    u → × v → = ( 2 ,   - a - 6 ,   - a )

    Passo 3

    Temos o vetor resultante do produto vetorial, então agora é só calcularmos o módulo:

    u → × v → = 2 6 →   2 2 + ( - a - 6 ) 2 + a 2 = 2 6

    2 2 + - a - 6 2 + a 2 = 4.6 = 24

    2 a 2 + 12 a + 40 = 24

    a 2 + 6 a + 8 = 0

    Resolvendo a equação de 2º grau, chaga-se em:

    a = - 4     o u     a = - 2

    Resposta

    a = - 4     o u     a = - 2

    Exercício Resolvido #5

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 94-51.

    Sabendo que   a → = 3 ,       b → = 2 e 45 ° é o ângulo entre a → e   b → , calcular |   a → ×   b → | .

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    Passo 1

    O enunciado nos dá os seguintes dados:

      a → = 3               b → = 2             θ = 45 °

    E nos pede para calcular |   a → ×   b → |

    Passo 2

    Bem, vamos pensar!!! Esses dados não te fazem lembrar de uma relação que vimos lá na teoria?

    Tudo bem!!! Vamos relembrar ;).

    Olha essa relação:

    u → × v → = u → v → sin ⁡ θ

    Uau!! Parece que nosso problema está resolvido uhuuuu...é só colocar na fórmula os dados e sair para o abraço .

    u → × v → = 3 . 2 sin ⁡ 45 ° = 3 2 . 2 2 = 3

    u → × v → = 3

    Resposta

    u → × v → = 3

    Exercício Resolvido #6

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-47.

    Determinar o valor de m para que o vetor w → = 1 ,   2 ,   m seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    O problema nos fornece os seguintes dados:

    Dados: w → = 1 ,   2 ,   m ,   v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 )   e   v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .  

    Com esses dados, o exercício pede para determinarmos o valor de m para que o vetor w → seja ortogonal (forme 90 ° ) simultaneamente aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

    Buguei na parte que fala “simultaneamente ortogonal”!!!

    Vamos relembrar um detalhe que vai nos ajudar ;).

    Passo 2

    Na teoria vimos algumas propriedades do produto vetorial! Lembra? Pois é, eu sei que eram muitos, mas uma delas vai nos ajudar muito. Essa aqui!

    Matou a charada?

    Então, sabemos que o produto vetorial gera um vetor, e ainda a propriedade nos diz que esse vetor é simultaneamente ortogonal aos dois vetores que o formam. É tudo o que precisamos. Então, para acharmos m , precisamos forçar que w → = v 1 → × v 2 → ou também que w → = v 2 → × v 1 → , no caso iremos obter vetores oposto.

    Passo 3

    Então agora é mão na massa!!!

    w → = v 1 → × v 2 → = ( 1 ,   2 ,   - 5 )

    w → = 1 ,   2 ,   m = v 1 → × v 2 → → 1,2   ,   m = 1 ,   2 ,   - 5

    m = - 5

    Se você fizer w → = v 2 → × v 1 → , chegarás em:

    w → = v 2 → × v 1 → = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

    Nesse caso, a conta só vai fazer sentido com v 1 → × v 2 → , pois em v 2 → × v 1 → e igualando a w → , teremos:

    w → = ( 1 ,   2 ,   m ) = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

    1 ≠ - 1

    2 ≠ - 2

    Resposta

    m = - 5

    Exercício Resolvido #7

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-49.

    Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 5.

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    Passo 1

    O problema nos dá dois vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Com esses dois vetores devemos determinar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados e além disso, que seja unitário.

    Bom, no exercício anterior vimos que se realizarmos o produto vetorial entre v 1 → e v 2 → , o vetor resultante será ortogonal a esses dois vetores. Okay, essa parte já entendemos!! E o unitário onde entra nessa história?

    Calma!! Você vai entender tudinho!!

    Na teoria não chegamos a falar sobre o termo “unitário”, mas ele significa que o módulo do vetor deve ser unitário. Assim, esse vetor é chamado de “versor”. Para achar o vetor unitário basta calcular o seu módulo e dividir cada coordenada pelo seu módulo, assim oh:

    v → = x v → ,   y v → , z v →      

    Passo 2

    Agora, é fazermos as conta. Vamos começar resolvendo o produto vetorial v 1 →   × v 2 → :

    v 1 → × v 2 → = ( 3 , - 3 , - 3 )

    Achamos o vetor que queríamos, que é v → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) . Agora falta transformá-lo em unitário.

    Passo 3

    Então, para fazê-lo ter módulo unitário, vamos calcular primeiro o seu módulo, que é:

    v → = 3 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 27 = 3 3  

    O vetor unitário que estamos procurando será:

    v → = x v → ,   y v → , z v → → 3 3 3 ,   - 3 3 3 , - 3 3 3 = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3

    É bom lembrar que se considerarmos v 2 → × v 1 → , obteremos como resultado o oposto do vetor obtido anteriormente, pois:

    v 1 → × v 2 → = - v 2 → × v 1 →

    Passo 4

    Já temos o vetor unitário, agora queremos calcular um vetor de módulo cinco nas mesmas condições do anterior. Se nas mesmas condições do anterior podemos utilizar o resultado que temos.

    Vamos pensar um pouco... Se o vetor que encontramos é unitário, ou seja, seu módulo é unitário, então, isso significa que se multiplicarmos as suas coordenadas por 5 , o vetor passará a ter módulo 5 ?

    É exatamente isso. Então, o vetor de módulo 5   é:

    v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3

    Resposta

    V e t o r   U n i t á r i o :   v → = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3   o u   v → = - 1 3 ,   1 3 ,   1 3    

    V e t o r   m ó d u l o   5 :     v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3   o u   v 5 → = - 5 3 ,   5 3 , 5 3  

    Exercício Resolvido #8

    Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 75-20.

    Calcular a área do triângulo de vértices A 1 ,   - 2 ,   1 ,   B 2 ,   - 1 ,   4   e   C - 1 ,   - 3 ,   3 .

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Temos os vértices de um triângulo que são os pontos A , B   e   C . Com esses pontos devemos determinar a área do triângulo.

    Na teoria vimos como calcular a área de um paralelogramo, então sucesso, já sabemos como fazer. Opa! Mas, aqui é a aréa de um triângulo!!! Como faremos?

    Ahh precisamos de uma informação valiosa lá do colégio. Quando aprendemos que a área de um paralelogramo é duas vezes a área de um triângulo. Então, temos que:

    A t r i a n g u l o = 1 2 A p a r a l e l o g r a m o

    Passo 2

    Então, a área do paralelogramo sabemos calcular!

    Pela figura, temos os vértices do triângulo A ,   B   e   C . Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores A B →   e   A C → , sabemos pela teoria que equivale ao módulo do produto vetorial entre esses dois vetores:

    | A B → × A C | → = A p a r a l e l o g r a m o

    Então, primeiro precisamos calcular o produto vetorial. Mas, antes precisamos calcular os vetores A B →   e   A C → , pois foi nos dado os pontos apenas.

    A B → = B - A = 2 ,   - 1 ,   4 - 1 ,   - 2 ,   1 = 1 ,   1 ,   3

      A C → = C - A = - 1 ,   - 3 ,   3 - 1 ,   - 2 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   2 )

    Agora sim, podemos calcular o produto vetorial:

    A B → × A C → = ( 5 ,   - 8 ,   1 )

    Passo 3

    Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo do vetor, para encontrar a área do paralelogramo.

    | A B → × A C | → = 5 2 + - 8 2 + 1 2 = 9 0

    A p a r a l e l o g r a m o = 90 = 3 10