Teoria

Vem aprender produto escalar de maneira rápida para a prova!

O produto escalar ou produto interno é a multiplicação entre dois VETORES e tem como resultado um ESCALAR.

MAS COMO ASSIM EU MULTIPLICO DOIS VETORES E TENHO COMO RESULTADO UM ESCALAR? 😱

Calmaaaa!! Não precisa gritar hahaha Eu vou te explicar!

Imagina esses dois vetores aqui: e

O produto escalar entre esses dois vetores pode ser representado das seguintes formas:

A forma com o "pontinho" é a mais comum. Mas cuidado, esse "pontinho" não representa a multiplicação normal como fazemos com números reais, mas sim o produto escalar entre dois vetores, beleza?

Tá, mas como calculamos? É simples, basta multiplicar as coordenadas equivalentes e depois somar com as demais. AHN?? 🤨

Assim:

Cálculo do produto escalar entre dois vetores
Cálculo do produto escalar entre dois vetores

Viu? Agora entendeu porque multiplicamos dois vetores e obtemos um escalar como resposta?

Mas, não acaba por aqui, existe uma outra fórmula de calcular o produto escalar, que usa o módulo dos vetores e o ângulo entre eles:

Ângulo entre dois vetores
Ângulo entre dois vetores

Por essa segunda fórmula a gente consegue perceber uma coisa BEM IMPORTANTE: "O produto escalar entre dois vetores ortogonais (formam um ângulo de 90°) é ZERO"

ã

Guarda essa informação com carinho, ok? Ela será MUITO útil.

📢 IMPORTANTE: A fórmula que você vai usar para calcular o produto escalar vai depender do que a questão fornecer, belezinha?

Para finalizar, o produto escalar ou interno como qualquer outra operação possui algumas propriedades:

  • Comutativa:
  • Distributiva:
  • Módulo:

E fechamos o conteúdo por aqui.

Nada como praticar com exercícios para fixar todos esses conceitos... Bora lá!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o valor do produto interno entre os vetores v → = ( 1,0 , 1 ) e u → = ( 2,1 , 0 ) .

Passo 1

E aí, vamos começar a esquentar os motores? Então, vamos nessa....

O enunciado pede para calcularmos o produto interno entre os vetores v → e u → . Então, aqui é importante ressaltar que já nos foi dado os vetores bonitinhos, com as coordenadas certas. Assim, não precisamos fazer nenhuma manipulação para encontrar os vetores, eles já nos foram dados, okay?

Passo 2

Bom, como vimos na teoria para achar o produto escalar entre dois vetores temos que multiplicar as coordenadas correspondentes uma a uma e depois somá-las, ou seja, devemos multiplicar a componente x   do vetor v → pela componente x do vetor u → , e assim, para todas as demais coordenadas.

Assim,

Resposta

v → ∙ u → = 2

Exercício Resolvido #2

Dados os vetores u → = 4 ,   α ,   - 1 e v → = ( α ,   2 ,   3 ) e os pontos A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) e B ( 3 ,   2 ,   - 1 ) , determinar o valor de α tal que u → ∙ v → + B A → = 5 .

Passo 1

Esse exercício nos dá várias informações. Então, vamos com calma!! Primeiro, vamos retirar do problema tudo o que ele nos fornece de informação!!

Dados: Vetores   u → = 4 ,   α ,   - 1   v → = ( α ,   2 ,   3 ) Pontos   A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) B ( 3 ,   2 ,   - 1 )

Pronto!! Já temos os dados separados. Bom, então o problema pede para determinarmos o valor de α para que a expressão u → ∙ v → + B A → = 5 seja válida.

Passo 2

Nessa expressão, o que não temos é o vetor B A → , pois só foi nos fornecido os pontos A e B . Assim, vamos primeiro encontrar o vetor B A → .

B A → = A - B = 4 ,   - 1 ,   2 - 3 ,   2 ,   - 1 = 1 ,   - 3 ,   3 →   B A → = ( 1 , - 3 ,   3 )

Passo 3

Agora, podemos começar a resolver nossa expressão, começando pela soma.

Por fim, realizamos o produto interno.

4 α + 1 + α - 1 + - 1 6

4 α + 4 - α - 6

3 α - 2

Como a questão quer que esse resultado seja igual a 5:

3 α - 2 = 5 →   α = 7 3

Resposta

α = 7 3

Exercício Resolvido #3

Calcular o ângulo entre os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   4 ) e v → = - 1 ,   2 ,   2 .

Passo 1

Ângulo??? Mas, até agora não vímos nada de ângulo!!!

Relaxa Aí!!

Nós vimos na teoria que o produto escalar entre dois vetores equivale a:

u → ∙ v → = | u → | | v → | cos ⁡ θ

Sendo o θ o ângulo entre os vetores u → e v → , os mesmo que queremos descobrir.

Passo 2

Então, devemos determinar o valor de u → ∙ v → , | u → | e | v → | . Vamos começar calculando os módulos dos vetore!!

u → = 1 ,   1 ,   4 → u → = 1 2 + 1 2 + 4 2 = 18 = 3 2

v → = - 1 ,   2 ,   2 → v → = - 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3

Falta calcular o produto interno u → ∙ v → .

  u → ∙ v → = 1 ,   1 ,   4 ∙ - 1 ,   2 ,   2 = 1 . - 1 + 1.2 + 4.2 = 9

Passo 3

Agora, que temos todos os valores podemos achar o ângulo.

u → ∙ v → = u → | | v → cos ⁡ θ →   9 = 3 2 . 3 . cos ⁡ θ

c o s θ = 1 2

Multilicando por 2 em cima e em baixo da fração do lado direito:

cos ⁡ θ = 2 2

Então temos um ângulo θ cujo cosseno é 2 2 .

Sabemos que o ângulo cujo cosseno tem esse valor é o de 45 ° , certo?

Isso pode ser escrito como:

cos - 1 ⁡ 2 2 = 45 °

Looogo:

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

Exercício Resolvido #4

Sabendo que o vetor v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) forma um ângulo de 60 ° com o vetor A B → determinado pelos pontos A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( 4 ,   0 ,   m ) , calcular m .

Passo 1

Bom, nos é dado o ângulo entre os vetores v → e A B → . E, pede-se o valor de m , para que o ângulo entre os vetores seja 60 ° .

Dados:

v → = 2 ,   1 ,   - 1 A B →

A 3 ,   1 ,   - 2 B 4 ,   0 ,   m

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor A B → , pois só temos os pontos A e B .

A B → = B - A = 4 ,   0 ,   m - 3 ,   1 ,   - 2     →     A B → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )

Agora que temos os dois vetores e o ângulo entre eles como achamos o valor de m ???

Bom, sabemos, que o produto interno é igual a:

v → ∙ A B → = v → A B → cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = v → ∙ A B → v → A B →    

Assim, se igualarmos os dois lados da equação acharemos m .

Passo 3

O produto interno é dado por

v → ∙ A B → = 2 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

= 2.1 + 1 . - 1 + - 1 . m + 2

v → ⋅ A B → = - m - 1

O módulo de v →   é dado por

v → = 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 6

E o módulo de A B → é

A B → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + m + 2 2 = m 2 + 4 m + 6

Colocando os valores encontrados na “fórmula” deduzida acima, temos:

1 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado

1 2 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6 2

1 4 = m 2 + 2 m + 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Multiplicando cruzado

  6 . m 2 + 4 m + 6 = 4 . ( m 2 + 2 m + 1 )

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 m 2 + 8 m + 4

Jogando tudo pro lado esquerdo

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Pra dar uma simplificada, vamos dividir tudo por 2

m 2 + 8 m + 16 = 0

Viu o que apareceu?? É um quadrado perfeito! \o/

m + 4 2 = 0

Isso significa que

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

Show! E esse é o nosso valor de m :D

Resposta

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

Exercício Resolvido #5

Determinar um vetor ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

O problema pede para encontrarmos um vetor, que chamaremos de w → , que o mesmo seja ortogonal, ou seja, forme 90 ° com o vetor v 1 → E v 2 → .

Passo 2

Uma característica importante é que quando falarmos em retas e plano será MUITO utilizada é a de que o produto interno entre dois vetores que formam entre si 90 ° vale ZERO. (Guarde essa dica com carinho ). Vamos usar essa característica para achar o vetor w → .

Passo 3

Como não sabemos nenhuma das coordenadas do nosso vetor w → , vamos assumir que:

w → = ( a ,   b ,   c )

Se sabemos que w → deve ser ortogonal a v 1 → E v 2 → . Então,

w → ∙ v 1 → = 0 e w → ∙ v 2 → = 0

a ,   b ,   c ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = 0 e a ,   b ,   c ∙ 1 ,   0 ,   1 = 0

Das duas expressões acima, temos que:

a - b = 0 e a + c = 0

Logo,

a = b → c = - a

Assim, temos um conjunto de vetores possíveis que são da forma:

w → = ( a ,   a ,   - a )

Por simplicidade, um dos vetores possíveis é quando a = 1 :

w → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

w → = ( a ,   a ,   - a )

Exercício Resolvido #6

Determinar o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , tal que v → ∙ u → = - 18 .

Passo 1

Temos que determinar o vetor v → de forma que ele seja paralelo ao vetor u → e que o produto interno entre v → e u → seja - 18 .

Passo 2

Puts, e agora?? Buguei, como que eu acho um vetor que seja paralelo a u → ??

Respira e vamos lá!!!

Vamos recordar algumas coisas que nos ajudarão a resolver o problema. Na teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” falamos em vetores LI e LD. Falamos, que vetores LD, são aqueles que são proporcionais e que são PARALELOS entre si. Lembrou??

Assim, temos que para v → ser paralelo a u → , temos que:

v → = α . ( u → )

Logo, temos que v → será:

v → = α . 1 ,   - 1 ,   2 = ( α ,   - α ,   2 α )

Passo 3

Para encontrarmos v → precisamos determinar α . Temos uma informação que não usamos ainda, a de que v → ∙ u → = - 18 .

v → ∙ u → = α ,   - α ,   2 α ∙   1 ,   - 1 ,   2 = α + α + 4 α = - 18

α = - 3

Se α = - 3 , então

v → = α ,   - α ,   2 α = ( - 3 ,   3 ,   - 6 )

Resposta

v → = ( - 3 ,   3 ,   - 6 )

Exercício Resolvido #7

Determinar o vetor v → ortogonal ao vetor u → = ( 2 ,   - 3 ,   - 12 ) e colinear ao vetor w → = ( - 6 ,   4 ,   - 2 ) .

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações: que o vetor v → forma 90 ° (ortogonal) com o vetor u → e que v → é colinear a w → . A partir destas informações devemos determinar o vetor v → .

Passo 2

De novo nãoo!!!

Não sei o que é colinear, ou até posso saber, mas o que isso me ajuda???

Fica frio, que vais entender tudinho, beleza?

Bom, vamos começar com o colinear, pois sabendo o que ele representa, fica mais fácil resolver o resto. Colinear é o nome que damos a vetores que pertencem a mesma reta (linha), ou que são paralelos. Assim, como vimos no exercício anterior, para ser paralelo temos que ter:

v → = α . w →

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 = ( - 6 α , 4 α ,   - 2 α )

Passo 3

Agora vamos utilizar a informação de que v → e u → são ortogonais. Como vimos, o produto interno entre dois vetores ortogonais é ZERO.

v → ∙ u → = 0 → - 6 α , 4 α ,   - 2 α ∙   2 ,   - 3 ,   - 12 = 0

- 12 α - 12 α + 24 α = 0

0 α = 0

Aqui chegamos em um resultado meio inusitado. Mas, o que ele nos diz?? Que qualquer valor de α satisfaz a expressão acima, pois qualquer número multiplicado por zero dá zero.

Assim, o α pode ser qualquer valor pertencente ao conjunto dos Reais.

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

Resposta

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

Exercício Resolvido #8

Ache u → tal que u → = 3 √ 3 e u → é ortogonal a v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Dos “ u → ”s encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) ?

Passo 1

Esse problema, na verdade, são dois problemas em um. Primeiro, devemos achar u → que tenha u → = 3 √ 3 e que forme 90 ° com os vetores v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Ao encontrarmos u →   que seja compatível com as características anteriores, o enunciado nos sugere que encontraremos mais de um vetor u → possível, e que desses devemos determinar qual deles forma um ângulo agudo com o vetor   ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Dados: u → = 3 √ 3 u → ∙ v → = u → ∙ w → = 0

Passo 2

Com os dados acima, encontraremos o vetor u → que denotaremos por:

u → = ( x ,   y ,   z )

Temos que:

u → ∙ v → = 0 → x ,   y , z ∙ 2 ,   3 ,   - 1 = 2 x + 3 y - z = 0

u → ∙ w → = 0 → x ,   y ,   z ∙ 2 ,   - 4 ,   6 = 2 x - 4 y + 6 z = 0

Passo 3

A última informação que temos é que u → = 3 √ 3 que equivale a:

x 2 + y 2 + z 2 = 3 3 →   x 2 + y 2 + z 2 = 27

Encontramos assim, um sistema de equações:

2 x + 3 y - z = 0 2 x - 4 y + 6 z = x 2 + y 2 + z 2 = 27 0

Das duas primeiras equações se subtrairmos a segunda equação da primeira chegamos que:

y = z

Substituindo y = z na primeira equação novamente chega-se que:

2 x + 3 y - y = 0 → x = - y

Por fim, utilizando que x = - y = - z e a 3ª equação descobrimos que:

3 x 2 = 27 → x = ± 3

Assim, temos duas possibilidades para o vetor u → :

Se x = 3 → y = - 3 ,   z = - 3 , logo u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Se x = - 3 → y = 3 ,   z = 3 , logo u → = ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 4

A primeira parte está concluída. Agora, temos que achar qual dos dois vetores de u → que formam um ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Mas, e agora o que eu faço para saber se é ou não agudo ??

Vamos raciocinar juntos!!

Do produto interno sabemos que a seguinte igualdade é válida:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = u → ( 1,0 , 0 ) cos ⁡ θ

Certo?!

Então, vamos analisar o que temos e o que podemos tirar com essa expressão. Bom, os vetores u → e ( 1,0 , 0 ) nós temos. O módulo de u → nós já sabemos e do vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) será 1 , só falta o ângulo. Ora, lá do Ensino Médio aprendemos que o cosseno de um ângulo agudo é maior ou igual a zero e que para um ângulo obtuso (maior que 90 ° ) é menor que zero, lembrou??

Então, faremos esse teste com cada um dos dois vetores u → que achamos e verificar qual deles o cosseno é positivo. Aqui, tem um detalhe que não precisamos calcular os módulos, pois como todo o módulo é um valor positivo, o mesmo não vai influenciar no resultado ;). Ufa!! Vai nos poupar algumas continhas haha.

Assim, para u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) , temos:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = 3 ,   - 3 ,   - 3 ∙ 1 ,   0 ,   0 = 3.1 + - 3 . 0 + - 3 . 0 = 3

Para nossa sorte já achamos o resultados hehe

u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Resposta

u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Exercício Resolvido #9

Calcular o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → , sabendo que u → = 4 ,   v → = 3 e o ângulo entre u → e v → é de 60 ° .

Passo 1

Esse problema nos dá os seguintes dados:

u → = 4 ,   v → = 3     e   θ = 60 °

Pede para calcularmos o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → .

Passo 2

Não sei nem por onde começar, ferrou!!!

Calma, tem alguns conhecimentos prévios que são fundamentais. Esse, é aquele tipo de exercício que sabemos resolver se já o vimos uma vez na vida hehe.

Lembra da Regra dos Cossenos, lá do Vestibular??? Se não se lembrar, relaxa aí!!

Repara que o lado c é o lado que está oposto ao ângulo θ , e os lados a e b são os que aparecem entre esse ângulo!

Passo 3

Olhando a figura acima podemos fazer uma associação entre os lados do triângulo com vetores.

Ué, como assim? O lado é um tamanho e o vetor é uma seta!

Isso mesmo, mas você pode ver os lados como se fossem o módulo do vetor, já que o módulo representa o tamanho do vetor.

Assim, com os dados do problema temos que:

A setinha 1 indica o caso do vetor u → - v → . Se você não lembra de como faz essa diferença de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O problema nos pede para calcular o módulo desse vetor u → - v → .

Para isso, vamos utilizar a Regra dos Cossenos que vimos no Passo 2.

Aplicando essa regra no triângulo da setinha 1, vamos ter:

| u → - v → | 2 = | u → | 2 + - v → | 2 - 2 u → | | - v → | cos ⁡ 60 °

Como sabemos que módulo indica o comprimento do vetor, então o sentido do vetor, ou seja, ele ser v → ou - v → não altera o seu módulo, apenas o sentido.

Com os dados fornecidos no enunciado chegamos que:

u → - v → 2 =   4 2 + 3 2 - 2.4 . 3 . 1 2 →   u → - v → 2 = 13  

Assim,

u → - v → = 13

Passo 4

Para finalizar, consideraremos a setinha 2 que indica o caso u → + v → . De novo, se você não lembra de como faz essa soma de vetores dá uma olhadinha rápida lá no tópico de Introdução aos Vetores =)

O passo a passo é o mesmo do caso u → - v → , só temos que nos atentar que agora o ângulo θ   a ser considerado não é mais 60 ° e sim 120 ° como mostra a figura, já que o θ corresponde ao ângulo oposto a u → + v →