Produto Escalar ou Interno

Teoria Completa

Produto Escalar ou Interno

Quando éramos crianças ainda, lá na 3ª ou 4ª série, aprendemos a multiplicar dois números. Por exemplo: 2 × 2 = 4 .

Mas, e se eu te pedir para multiplicar dois vetores? Tipo, os vetores que estão a seguir:

u → = 2 ,   1 ,   0     e     v → = ( 1 ,   0 ,   1 )

Qual o resultado?

Não se desespere, vamos devagar para você pegar tudo o que é importante. ;)

O produto entre vetores pode ser escalar ou vetorial. Aqui, vamos falar sobre o Produto Escalar ou Interno, os outros deixamos para depois, beleza?

Vamos começar!!!

Vamos dizer que temos dois vetores quaisqueres u → e v → .

O Produto Escalar dos vetores u → e v → é representado da seguinte forma:

u → ⋅ v   →   o u < u → , v → >

A forma mais utilizada, em geral, é com (pontinho). Mas cuidado: esse pontinho não indica multiplicação normal como fazemos com números reais, mas sim um produto escalar entre dois vetores.

Okay, já sei como é a representação, sei que é entre vetors, MAS COMO SE CALCULA??

Calma, não precisa gritar, já vou te explicar. =p

Bem, uma forma de calcular o produto interno é multiplicar as coordenadas equivalentes e somar depois com as demais. AHN??

Calma!! Vamos considerar os vetores u → e v → que falamos acima. Ficaria assim:

Olha só!! Agora conseguimos entender porque o produto se chama ESCALAR, isso é devido ao fato de que, embora o produto seja entre dois vetores, o resultado é um número escalar.

Agora, que ficou mais claro como se faz o produto interno, podemos escrever de uma forma geral.

Sendo u → = x 1 ,       y 1 ,   z 1 e v → = x 2 ,       y 2 ,   z 2 , teremos:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

O produto interno como qualquer operação tem suas propriedades:

  • Comutativa →   u → ∙ v → = v → ∙ u →
  • Distributiva em relação à adição de vetores →   u → ∙ v → + w → = u → ∙ v → + u → ∙ w →
  • Módulo →   u → ∙ u → = u → = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

Sempre ouvimos que o módulo de um vetor é o comprimento do vetor. Isso é verdade, mas uma interpretação super válida para a geometria também é de que o módulo é a distância entre dois pontos. ;)

Mas, como isso é possível?

Por exemplo, temos dois pontos A ( 1 ,   0 ,   1 ) e B ( 2 ,   0 ,   3 ) . O vetor formado pelos pontos A e B é o vetor A B → que equivale a:

A B → = B - A = 2 ,   0 ,   3 - 1 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   0 ,   2 )

A distância entre os pontos A e B   será então,

A B → = 1 2 + 0 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5  

Mas voltando pro produto interno: será que só tem essa forma de calcular? Não!

Depedendo dos dados que nos são fornecidos, é preferível usar uma segunda forma, que utiliza o módulo dos vetores e o ângulo entre eles. É essa aqui ó:

u → ⋅ v → = u → v → cos ⁡ θ

Então, as duas formas que a gente aprendeu pra calcular o produto interno são equivalentes:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = u → v → cos ⁡ θ

Por meio da segunda forma conseguimos calcular o ângulo entre os vetores considerados. Nem sempre isso é uma tarefa fácil, mas essa relação facilita bastante ;). Tanto que meio que surge uma “formuleta” para se achar o ângulo entre dois vetores:

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

A formuleta acima nada mais é que uma forma diferente de escrever a segunda forma de se calcular o produto escalar ;).

Até agora vimos que, com o produto escalar, podemos calcular o ângulo entre dois vetores e o módulo de um vetor. Mas será que é só isso???

Nada disso!! A cereja do bolo vem agora hehe.

Um dos artifícios que mais utilizamos quando estudamos retas e planos é que:

O Produto Escalar é ZERO quando dois vetores são ortogonais, ou seja, formam 90 ° entre si”.

Isso porque pela segunda definição se θ = 90 ° , então cos ⁡ 90 ° = 0 .

Guarde com carinho essa informação será muito útil mesmo, como veremos nos exercícios.

Para finalizar, vamos falar rapidinho sobre o que é uma projeção e como determiná-la.

Bom, temos os vetores B A → e B C → . Quem é esse vetor em laranja?? Ele é um vetor que é a PROJEÇÃO do vetor B A → sobre B C → . A projeção nada mais é que a sombra de um vetor sobre o outro.

Entendi, mas e aí, como acho esse vetor projeção?

Relaxa!! Tem fórmula haha

Muita fórmula, muito detalhe, nada como praticar para fixar bem todos esses conceitos!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o valor do produto interno entre os vetores v → = ( 1,0 , 1 ) e u → = ( 2,1 , 0 ) .

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Passo 1

E aí, vamos começar a esquentar os motores? Então, vamos nessa....

O enunciado pede para calcularmos o produto interno entre os vetores v → e u → . Então, aqui é importante ressaltar que já nos foi dado os vetores bonitinhos, com as coordenadas certas. Assim, não precisamos fazer nenhuma manipulação para encontrar os vetores, eles já nos foram dados, okay?

Passo 2

Bom, como vimos na teoria para achar o produto escalar entre dois vetores temos que multiplicar as coordenadas correspondentes uma a uma e depois somá-las, ou seja, devemos multiplicar a componente x   do vetor v → pela componente x do vetor u → , e assim, para todas as demais coordenadas.

Assim,

Resposta

v → ∙ u → = 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 39-1.

Dados os vetores u → = 4 ,   α ,   - 1 e v → = ( α ,   2 ,   3 ) e os pontos A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) e B ( 3 ,   2 ,   - 1 ) , determinar o valor de α tal que u → ∙ v → + B A → = 5 .

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Passo 1

Esse exercício nos dá várias informações. Então, vamos com calma!! Primeiro, vamos retirar do problema tudo o que ele nos fornece de informação!!

Dados: Vetores   u → = 4 ,   α ,   - 1   v → = ( α ,   2 ,   3 ) Pontos   A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) B ( 3 ,   2 ,   - 1 )

Pronto!! Já temos os dados separados. Bom, então o problema pede para determinarmos o valor de α para que a expressão u → ∙ v → + B A → = 5 seja válida.

Passo 2

Nessa expressão, o que não temos é o vetor B A → , pois só foi nos fornecido os pontos A e B . Assim, vamos primeiro encontrar o vetor B A → .

B A → = A - B = 4 ,   - 1 ,   2 - 3 ,   2 ,   - 1 = 1 ,   - 3 ,   3 →   B A → = ( 1 , - 3 ,   3 )

Passo 3

Agora, podemos começar a resolver nossa expressão, começando pela soma.

Por fim, realizamos o produto interno.

4 α + 1 + α - 1 + - 1 6

4 α + 4 - α - 6

3 α - 2

Como a questão quer que esse resultado seja igual a 5:

3 α - 2 = 5 →   α = 7 3

Resposta

α = 7 3

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 47-6.

Calcular o ângulo entre os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   4 ) e v → = - 1 ,   2 ,   2 .

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Passo 1

Ângulo??? Mas, até agora não vímos nada de ângulo!!!

Relaxa Aí!!

Nós vimos na teoria que o produto escalar entre dois vetores equivale a:

u → ∙ v → = | u → | | v → | cos ⁡ θ

Sendo o θ o ângulo entre os vetores u → e v → , os mesmo que queremos descobrir.

Passo 2

Então, devemos determinar o valor de u → ∙ v → , | u → | e | v → | . Vamos começar calculando os módulos dos vetore!!

u → = 1 ,   1 ,   4 → u → = 1 2 + 1 2 + 4 2 = 18 = 3 2

v → = - 1 ,   2 ,   2 → v → = - 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3

Falta calcular o produto interno u → ∙ v → .

  u → ∙ v → = 1 ,   1 ,   4 ∙ - 1 ,   2 ,   2 = 1 . - 1 + 1.2 + 4.2 = 9

Passo 3

Agora, que temos todos os valores podemos achar o ângulo.

u → ∙ v → = u → | | v → cos ⁡ θ →   9 = 3 2 . 3 . cos ⁡ θ

c o s θ = 1 2

Multilicando por 2 em cima e em baixo da fração do lado direito:

cos ⁡ θ = 2 2

Então temos um ângulo θ cujo cosseno é 2 2 .

Sabemos que o ângulo cujo cosseno tem esse valor é o de 45 ° , certo?

Isso pode ser escrito como:

cos - 1 ⁡ 2 2 = 45 °

Looogo:

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 47-7.

Sabendo que o vetor v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) forma um ângulo de 60 ° com o vetor A B → determinado pelos pontos A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( 4 ,   0 ,   m ) , calcular m .

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Passo 1

Bom, nos é dado o ângulo entre os vetores v → e A B → . E, pede-se o valor de m , para que o ângulo entre os vetores seja 60 ° .

Dados:

v → = 2 ,   1 ,   - 1 A B →

A 3 ,   1 ,   - 2 B 4 ,   0 ,   m

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor A B → , pois só temos os pontos A e B .

A B → = B - A = 4 ,   0 ,   m - 3 ,   1 ,   - 2     →     A B → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )

Agora que temos os dois vetores e o ângulo entre eles como achamos o valor de m ???

Bom, sabemos, que o produto interno é igual a:

v → ∙ A B → = v → A B → cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = v → ∙ A B → v → A B →    

Assim, se igualarmos os dois lados da equação acharemos m .

Passo 3

O produto interno é dado por

v → ∙ A B → = 2 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

= 2.1 + 1 . - 1 + - 1 . m + 2

v → ⋅ A B → = - m - 1

O módulo de v →   é dado por

v → = 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 6

E o módulo de A B → é

A B → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + m + 2 2 = m 2 + 4 m + 6

Colocando os valores encontrados na “fórmula” deduzida acima, temos:

1 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado

1 2 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6 2

1 4 = m 2 + 2 m + 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Multiplicando cruzado

  6 . m 2 + 4 m + 6 = 4 . ( m 2 + 2 m + 1 )

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 m 2 + 8 m + 4

Jogando tudo pro lado esquerdo

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Pra dar uma simplificada, vamos dividir tudo por 2

m 2 + 8 m + 16 = 0

Viu o que apareceu?? É um quadrado perfeito! \o/

m + 4 2 = 0

Isso significa que

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

Show! E esse é o nosso valor de m :D

Resposta

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 50-10.

Determinar um vetor ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

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Passo 1

O problema pede para encontrarmos um vetor, que chamaremos de w → , que o mesmo seja ortogonal, ou seja, forme 90 ° com o vetor v 1 → E v 2 → .

Passo 2

Uma característica importante é que quando falarmos em retas e plano será MUITO utilizada é a de que o produto interno entre dois vetores que formam entre si 90 ° vale ZERO. (Guarde essa dica com carinho ). Vamos usar essa característica para achar o vetor w → .

Passo 3

Como não sabemos nenhuma das coordenadas do nosso vetor w → , vamos assumir que:

w → = ( a ,   b ,   c )

Se sabemos que w → deve ser ortogonal a v 1 → E v 2 → . Então,

w → ∙ v 1 → = 0 e w → ∙ v 2 → = 0

a ,   b ,   c ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = 0 e a ,   b ,   c ∙ 1 ,   0 ,   1 = 0

Das duas expressões acima, temos que:

a - b = 0 e a + c = 0

Logo,

a = b → c = - a

Assim, temos um conjunto de vetores possíveis que são da forma:

w → = ( a ,   a ,   - a )

Por simplicidade, um dos vetores possíveis é quando a = 1 :

w → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

w → = ( a ,   a ,   - a )

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 91-19.

Determinar o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , tal que v → ∙ u → = - 18 .

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Passo 1

Temos que determinar o vetor v → de forma que ele seja paralelo ao vetor u → e que o produto interno entre v → e u → seja - 18 .

Passo 2

Puts, e agora?? Buguei, como que eu acho um vetor que seja paralelo a u → ??

Respira e vamos lá!!!

Vamos recordar algumas coisas que nos ajudarão a resolver o problema. Na teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” falamos em vetores LI e LD. Falamos, que vetores LD, são aqueles que são proporcionais e que são PARALELOS entre si. Lembrou??

Assim, temos que para v → ser paralelo a u → , temos que:

v → = α . ( u → )

Logo, temos que v → será:

v → = α . 1 ,   - 1 ,   2 = ( α ,   - α ,   2 α )

Passo 3

Para encontrarmos v → precisamos determinar α . Temos uma informação que não usamos ainda, a de que v → ∙ u → = - 18 .

v → ∙ u → = α ,   - α ,   2 α ∙   1 ,   - 1 ,   2 = α + α + 4 α = - 18

α = - 3

Se α = - 3 , então

v → = α ,   - α ,   2 α = ( - 3 ,   3 ,   - 6 )

Resposta

v → = ( - 3 ,   3 ,   - 6 )

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 91-20.

Determinar o vetor v → ortogonal ao vetor u → = ( 2 ,   - 3 ,   - 12 ) e colinear ao vetor w → = ( - 6 ,   4 ,   - 2 ) .

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Passo 1

O enunciado nos dá duas informações: que o vetor v → forma 90 ° (ortogonal) com o vetor u → e que v → é colinear a w → . A partir destas informações devemos determinar o vetor v → .

Passo 2

De novo nãoo!!!

Não sei o que é colinear, ou até posso saber, mas o que isso me ajuda???

Fica frio, que vais entender tudinho, beleza?

Bom, vamos começar com o colinear, pois sabendo o que ele representa, fica mais fácil resolver o resto. Colinear é o nome que damos a vetores que pertencem a mesma reta (linha), ou que são paralelos. Assim, como vimos no exercício anterior, para ser paralelo temos que ter:

v → = α . w →

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 = ( - 6 α , 4 α ,   - 2 α )

Passo 3

Agora vamos utilizar a informação de que v → e u → são ortogonais. Como vimos, o produto interno entre dois vetores ortogonais é ZERO.

v → ∙ u → = 0 → - 6 α , 4 α ,   - 2 α ∙   2 ,   - 3 ,   - 12 = 0

- 12 α - 12 α + 24 α = 0

0 α = 0

Aqui chegamos em um resultado meio inusitado. Mas, o que ele nos diz?? Que qualquer valor de α satisfaz a expressão acima, pois qualquer número multiplicado por zero dá zero.

Assim, o α pode ser qualquer valor pertencente ao conjunto dos Reais.

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

Resposta

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

Exercício Resolvido #8

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 67-4.

Ache u → tal que u → = 3 √ 3 e u → é ortogonal a v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Dos “ u → ”s encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) ?

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Passo 1

Esse problema, na verdade, são dois problemas em um. Primeiro, devemos achar u → que tenha u → = 3 √ 3 e que forme 90 ° com os vetores v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Ao encontrarmos u →   que seja compatível com as características anteriores, o enunciado nos sugere que encontraremos mais de um vetor u → possível, e que desses devemos determinar qual deles forma um ângulo agudo com o vetor   ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Dados: u → = 3 √ 3 u → ∙ v → = u → ∙ w → = 0

Passo 2

Passo 3

Com os dados acima, encontraremos o vetor u → que denotaremos por:

u → = ( x ,   y ,   z )

Temos que:

u → ∙ v → = 0 → x ,   y , z ∙ 2 ,   3 ,   - 1 = 2 x + 3 y - z = 0

u → ∙ w → = 0 → x ,   y ,   z ∙ 2 ,   - 4 ,   6 = 2 x - 4 y + 6 z = 0

Passo 4

A última informação que temos é que u → = 3 √ 3 que equivale a:

x 2 + y 2 + z 2 = 3 3 →   x 2 + y 2 + z 2 = 27

Encontramos assim, um sistema de equações:

2 x + 3 y - z = 0 2 x - 4 y + 6 z = x 2 + y 2 + z 2 = 27 0

Das duas primeiras equações se subtrairmos a segunda equação da primeira chegamos que:

y = z

Substituindo y = z na primeira equação novamente chega-se que:

2 x + 3 y - y = 0 → x = - y

Por fim, utilizando que x = - y = - z e a 3ª equação descobrimos que:

3 x 2 = 27 → x = ± 3

Assim, temos duas possibilidades para o vetor u → :

Se x = 3 → y = - 3 ,   z = - 3 , logo u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Se x = - 3 → y = 3 ,   z = 3 , logo u → = ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 5

A primeira parte está concluída. Agora, temos que achar qual dos dois vetores de u → que formam um ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Mas, e agora o que eu faço para saber se é ou não agudo ??

Vamos raciocinar juntos!!

Do produto interno sabemos que a seguinte igualdade é válida:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = u → ( 1,0 , 0 ) cos ⁡ θ

Certo?!

Então, vamos analisar o que temos e o que podemos tirar com essa expressão. Bom, os vetores u → e ( 1,0 , 0 ) nós temos. O módulo de u → nós já sabemos e do vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) será 1 , só falta o ângulo. Ora, lá do Ensino Médio aprendemos que o cosseno de um ângulo agudo é maior ou igual a zero e que para um ângulo obtuso (maior que 90 ° ) é menor que zero, lembrou??

Então, faremos esse teste com cada um dos dois vetores u → que achamos e verificar qual deles o cosseno é positivo. Aqui, tem um detalhe que não precisamos calcular os módulos, pois como todo o módulo é um valor positivo, o mesmo não vai influenciar no resultado ;). Ufa!! Vai nos poupar algumas continhas haha.

Assim, para u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) , temos:

u → ∙ ( 1,0 , 0 ) = 3 ,   - 3 ,   - 3 ∙ 1 ,   0 ,   0 = 3.1 + - 3 . 0 + - 3 . 0 = 3

Para nossa sorte já achamos o resultados hehe

u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )