Produto Escalar ou Interno

Teoria Completa

Produto Escalar ou Interno

Quando éramos crianças ainda, lá na 3ª ou 4ª série, aprendemos a multiplicar dois números. Por exemplo: 2 × 2 = 4 .

Mas, e se eu te pedir para multiplicar dois vetores? Tipo, os vetores que estão a seguir:

u → = 2 ,   1 ,   0     e     v → = ( 1 ,   0 ,   1 )

Qual o resultado?

Não se desespere, vamos devagar para você pegar tudo o que é importante. ;)

O produto entre vetores pode ser escalar ou vetorial. Aqui, vamos falar sobre o Produto Escalar ou Interno, os outros deixamos para depois, beleza?

Vamos começar!!!

Vamos dizer que temos dois vetores quaisqueres u → e v → .

O Produto Escalar dos vetores u → e v → é representado da seguinte forma:

u → ⋅ v   →   o u < u → , v → >

A forma mais utilizada, em geral, é com (pontinho). Mas cuidado: esse pontinho não indica multiplicação normal como fazemos com números reais, mas sim um produto escalar entre dois vetores.

Okay, já sei como é a representação, sei que é entre vetors, MAS COMO SE CALCULA??

Calma, não precisa gritar, já vou te explicar. =p

Bem, uma forma de calcular o produto interno é multiplicar as coordenadas equivalentes e somar depois com as demais. AHN??

Calma!! Vamos considerar os vetores u → e v → que falamos acima. Ficaria assim:

Olha só!! Agora conseguimos entender porque o produto se chama ESCALAR, isso é devido ao fato de que, embora o produto seja entre dois vetores, o resultado é um número escalar.

Agora, que ficou mais claro como se faz o produto interno, podemos escrever de uma forma geral.

Sendo u → = x 1 ,       y 1 ,   z 1 e v → = x 2 ,       y 2 ,   z 2 , teremos:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

O produto interno como qualquer operação tem suas propriedades:

  • Comutativa →   u → ∙ v → = v → ∙ u →
  • Distributiva em relação à adição de vetores →   u → ∙ v → + w → = u → ∙ v → + u → ∙ w →
  • Módulo →   u → ∙ u → = u → = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

Sempre ouvimos que o módulo de um vetor é o comprimento do vetor. Isso é verdade, mas uma interpretação super válida para a geometria também é de que o módulo é a distância entre dois pontos. ;)

Mas, como isso é possível?

Por exemplo, temos dois pontos A ( 1 ,   0 ,   1 ) e B ( 2 ,   0 ,   3 ) . O vetor formado pelos pontos A e B é o vetor A B → que equivale a:

A B → = B - A = 2 ,   0 ,   3 - 1 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   0 ,   2 )

A distância entre os pontos A e B   será então,

A B → = 1 2 + 0 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5  

Mas voltando pro produto interno: será que só tem essa forma de calcular? Não!

Depedendo dos dados que nos são fornecidos, é preferível usar uma segunda forma, que utiliza o módulo dos vetores e o ângulo entre eles. É essa aqui ó:

u → ⋅ v → = u → v → cos ⁡ θ

Então, as duas formas que a gente aprendeu pra calcular o produto interno são equivalentes:

u → ⋅ v → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = u → v → cos ⁡ θ

Por meio da segunda forma conseguimos calcular o ângulo entre os vetores considerados. Nem sempre isso é uma tarefa fácil, mas essa relação facilita bastante ;). Tanto que meio que surge uma “formuleta” para se achar o ângulo entre dois vetores:

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

A formuleta acima nada mais é que uma forma diferente de escrever a segunda forma de se calcular o produto escalar ;).

Até agora vimos que, com o produto escalar, podemos calcular o ângulo entre dois vetores e o módulo de um vetor. Mas será que é só isso???

Nada disso!! A cereja do bolo vem agora hehe.

Um dos artifícios que mais utilizamos quando estudamos retas e planos é que:

O Produto Escalar é ZERO quando dois vetores são ortogonais, ou seja, formam 90 ° entre si”.

Isso porque pela segunda definição se θ = 90 ° , então cos ⁡ 90 ° = 0 .

Guarde com carinho essa informação será muito útil mesmo, como veremos nos exercícios.

Para finalizar, vamos falar rapidinho sobre o que é uma projeção e como determiná-la.

Bom, temos os vetores B A → e B C → . Quem é esse vetor em laranja?? Ele é um vetor que é a PROJEÇÃO do vetor B A → sobre B C → . A projeção nada mais é que a sombra de um vetor sobre o outro.

Entendi, mas e aí, como acho esse vetor projeção?

Relaxa!! Tem fórmula haha

Muita fórmula, muito detalhe, nada como praticar para fixar bem todos esses conceitos!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o valor do produto interno entre os vetores v → = ( 1,0 , 1 ) e u → = ( 2,1 , 0 ) .

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Passo 1

E aí, vamos começar a esquentar os motores? Então, vamos nessa....

O enunciado pede para calcularmos o produto interno entre os vetores v → e u → . Então, aqui é importante ressaltar que já nos foi dado os vetores bonitinhos, com as coordenadas certas. Assim, não precisamos fazer nenhuma manipulação para encontrar os vetores, eles já nos foram dados, okay?

Passo 2

Bom, como vimos na teoria para achar o produto escalar entre dois vetores temos que multiplicar as coordenadas correspondentes uma a uma e depois somá-las, ou seja, devemos multiplicar a componente x   do vetor v → pela componente x do vetor u → , e assim, para todas as demais coordenadas.

Assim,

Resposta

v → ∙ u → = 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 39-1.

Dados os vetores u → = 4 ,   α ,   - 1 e v → = ( α ,   2 ,   3 ) e os pontos A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) e B ( 3 ,   2 ,   - 1 ) , determinar o valor de α tal que u → ∙ v → + B A → = 5 .

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Passo 1

Esse exercício nos dá várias informações. Então, vamos com calma!! Primeiro, vamos retirar do problema tudo o que ele nos fornece de informação!!

Dados: Vetores   u → = 4 ,   α ,   - 1   v → = ( α ,   2 ,   3 ) Pontos   A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) B ( 3 ,   2 ,   - 1 )

Pronto!! Já temos os dados separados. Bom, então o problema pede para determinarmos o valor de α para que a expressão u → ∙ v → + B A → = 5 seja válida.

Passo 2

Nessa expressão, o que não temos é o vetor B A → , pois só foi nos fornecido os pontos A e B . Assim, vamos primeiro encontrar o vetor B A → .

B A → = A - B = 4 ,   - 1 ,   2 - 3 ,   2 ,   - 1 = 1 ,   - 3 ,   3 →   B A → = ( 1 , - 3 ,   3 )

Passo 3

Agora, podemos começar a resolver nossa expressão, começando pela soma.

Por fim, realizamos o produto interno.

4 α + 1 + α - 1 + - 1 6

4 α + 4 - α - 6

3 α - 2

Como a questão quer que esse resultado seja igual a 5:

3 α - 2 = 5 →   α = 7 3

Resposta

α = 7 3

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 47-6.

Calcular o ângulo entre os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   4 ) e v → = - 1 ,   2 ,   2 .

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Passo 1

Ângulo??? Mas, até agora não vímos nada de ângulo!!!

Relaxa Aí!!

Nós vimos na teoria que o produto escalar entre dois vetores equivale a:

u → ∙ v → = | u → | | v → | cos ⁡ θ

Sendo o θ o ângulo entre os vetores u → e v → , os mesmo que queremos descobrir.

Passo 2

Então, devemos determinar o valor de u → ∙ v → , | u → | e | v → | . Vamos começar calculando os módulos dos vetore!!

u → = 1 ,   1 ,   4 → u → = 1 2 + 1 2 + 4 2 = 18 = 3 2

v → = - 1 ,   2 ,   2 → v → = - 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3

Falta calcular o produto interno u → ∙ v → .

  u → ∙ v → = 1 ,   1 ,   4 ∙ - 1 ,   2 ,   2 = 1 . - 1 + 1.2 + 4.2 = 9

Passo 3

Agora, que temos todos os valores podemos achar o ângulo.

u → ∙ v → = u → | | v → cos ⁡ θ →   9 = 3 2 . 3 . cos ⁡ θ

c o s θ = 1 2

Multilicando por 2 em cima e em baixo da fração do lado direito:

cos ⁡ θ = 2 2

Então temos um ângulo θ cujo cosseno é 2 2 .

Sabemos que o ângulo cujo cosseno tem esse valor é o de 45 ° , certo?

Isso pode ser escrito como:

cos - 1 ⁡ 2 2 = 45 °

Looogo:

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 47-7.

Sabendo que o vetor v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) forma um ângulo de 60 ° com o vetor A B → determinado pelos pontos A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( 4 ,   0 ,   m ) , calcular m .

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Passo 1

Bom, nos é dado o ângulo entre os vetores v → e A B → . E, pede-se o valor de m , para que o ângulo entre os vetores seja 60 ° .

Dados:

v → = 2 ,   1 ,   - 1 A B →

A 3 ,   1 ,   - 2 B 4 ,   0 ,   m

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor A B → , pois só temos os pontos A e B .

A B → = B - A = 4 ,   0 ,   m - 3 ,   1 ,   - 2     →     A B → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )