Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

Ver Teoria

Enunciado

Ache a medida θ do ângulo entre os planos

π 1 : x - y + z = 20       e       π 2 : x + y + z = 0

Passo 1

Já calculamos ângulo entre reta e ângulo entre reta e plano! Chegou a vez de calcular o ângulo entre planos!! Chegou a hora de resolvermos o problema lá da teoria, lembra?? Da rampa de acesso para cadeirante!! ;)

O enunciado nos fornece os dados como queremos, ou seja, a equação geral dos planos para que já possamos tirar qua lo vetor normal deles.

Passo 2

Primeiro, vamos retirar das equações qual o vetor normal de cada plano:

n 1 → = 1 ,   - 1 ,   1

n 2 → = 1 ,   1 ,   1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 3

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   - 1 ,   1 ∙ 1 ,   1 ,   1 = | 1 - 1 + 1 | = 1

n 1 → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 3

| n 2 → | = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 1 3 3 = 1 3

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se o plano π separa os pontos A e B .b) A = 1 ,0 ,3 B = 1 ,- 1 ,- 4π : x - y - z = 4
Verifique se o plano π separa os pontos A e B .a) A = 1 ,2 ,3 B = 0 ,- 1 ,- 4π : x - 3 y - z = 1
Determine a parte da reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ . ( 1 ,2 ,1 ) que é visível para um observador situado no ponto ( 1 ,0 ,0 ) , supondo que os planos π 1 : x + y - z - 2 = 0 e π 2 : 2 x - y + z + 2 = 0 se
Verifique se o plano π separa os pontos A e B .c) A = 0 ,0 ,0 B = 0 ,- 1 ,- 3π : x = 3 y - z - 1
Obtenha uma equação geral do plano que contém r e forma ângulo de θ radianos com π .a) r : x = z + 1 = y + 2 π : x + 2 y - 3 z + 2 = 0 θ = π 3