Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Enunciado

Considere os planos α :   2 x - y + 5 z = 2 e β : x + 5 y - 2 z = 3 .

  1. Determine o ângulo θ entre α e β .
  2. Escreva uma equação vetorial para a reta l que contém a origem e é pararela aos planos α e β .

Passo 1

  1. Quando ele pedir ângulo entre os planos, quer dizer o ângulo agudo entre os vetores normais a eles! Vamos encontrá-los primeiro:
  2. n α → = 2 , - 1,5

    n β → = ( 1,5 , - 2 )

    Mas então, falou em ângulo, tá pedindo produto escalar!

    c o s θ = n α → ⋅ n β → n α → n β → = 2 - 5 - 10 30 ⋅ 30

    c o s θ = 13 30

    θ = arccos ⁡ 13 30

    Passo 2

  3. Se liga, se a reta é paralela aos planos α e β ao mesmo tempo, ela é perpendicular aos vetores normais aos planos ao mesmo tempo! Então o diretor da reta l é o produto vetorial dos vetores normais aos planos!

n → = n α → × n β →

n → = i → j → k → 2 - 1 5 1 5 - 2 = ( - 23 ,   9 ,   11 )

Beleza, pra definir a reta só precisamos de um ponto e do vetor diretor. Já temos o diretor, e como ele disse que passa na origem, já temos o ponto!

l : X = 0,0 , 0 + λ - 23,9 , 11

Resposta

  1. θ = arccos ⁡ 13 30
  2. l : X = 0,0 , 0 + λ - 23,9 , 11

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