Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Enunciado

Sejam os planos ∏ 1 : X = 0,1 , 0 + λ 1,0 , 0 + μ 0,0 , 1 e ∏ 2 : z = 1 .

  1. Escreva a equação geral do plano ∏ 1 .
  2. Prove que os planos ∏ 1 e ∏ 2 são perpendiculares.

Passo 1

Vamos lá! Precisamos começar determinando a equação geral do plano ∏ 1 . Mas antes disto, qual foi a forma dada para este plano na questão?

Nós precisamos identificar a forma dada para conseguir obter as informações necessárias para escrevermos a equação geral deste plano. Continuando então, a forma do plano dada na questão é a forma vetorial.

Nesta forma temos as coordenadas de um ponto A = 0,1 , 0 pertencente ao plano e dois vetores diretores u → = 1,0 , 0 e v → = 0 , 0 , 1 do plano.

Se queremos escrever a equação geral do plano, queremos descobrir os valores das incógnitas a , b , c , d tais que:

π 1 : a x + b y + c z + d = 0

Começaremos então por identificar os valores de a , b , c , que, por sinal, consistem nas coordenadas do vetor normal ao plano n → 1 = a , b , c !

Então.... se obtivermos este vetor normal, teremos os valores dessas incógnitas! Eita, e como obtemos este vetor?????

Simples! Basta fazermos o produto vetorial dos vetores diretores do plano (que já foram dados e nós já identificamos!). Portanto,

n → 1 = u → ∧ v → = i j k 1 0 0 0 0 1 = 0 - 0 i + 0 - 1 j + 0 - 0 k

n → 1 = u → ∧ v → = 0 i - 1 j + 0 k = 0 , - 1,0

Passo 2

Estamos quase acabando! Ao obtermos o vetor normal no final do passo anterior, obtivemos que a = 0 , b = - 1 e c = 0 . Portanto, a equação geral do plano é:

π 1 : - y + d = 0

Só falta então identificarmos quem é esse d ! E agora? O que fazer?

Vamos pensar no que nós tínhamos e no que faltou utilizar. Tínhamos 2 vetores diretores e as coordenadas de um ponto. Nós já usamos os vetores. Então... falta utilizar as coordenadas do ponto....

E é exatamente isto! Se o ponto A = 0,1 , 0 pertence ao plano, significa que ele satisfaz a equação do plano! Então, a ideia é substituir suas coordenadas, isolar o valor de d para descobri-o, e substitui-lo na equação geral do plano.

Primeiro vamos descobrir o d . Então, substituindo as coordenadas de A na equação do plano,

- 1 + d = 0

d = 1

Por fim, a equação geral do plano π é:

π 1 : - y + 1 = 0

Passo 3

Para finalizarmos a questão, precisamos analisar se os dois planos são perpendiculares. Isto só ocorrerá se, e somente se, os vetores normais aos planos são ortogonais (formam ângulo de noventa graus).

O vetor normal ao plano π 1 nós já identificamos, que foi n → 1 = 0 , - 1,0 . Já em relação ao segundo plano, basta analisarmos os coeficientes que multiplicam as variáveis x , y , z . Neste caso, temos então o seguinte vetor normal n → 2 = 0 , 0 , 1 .

Agora que temos os vetores, basta checarmos a ortogonalidade deles. Para isto, vamos utilizar a operação de produto interno! Relembrando, basta somar o produto da primeira coordenada de cada vetor com o produto da segunda coordenada de cada vetor com o produto da terceira coordenada de cada vetor. Logo,

n → 1 ⋅ n → 2 = 0 , - 1,0 ⋅ 0,0 , 1 = 0 ⋅ 0 + - 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0

Como este produto interno deu igual a zero, significa que os vetores são ortogonais.

Então, como os vetores normais dos dois planos são ortogonais, significa que os planos são perpendiculares!

Resposta

  1. A equação geral do plano é:
  2. π 1 : - y + 1 = 0

  3. Os dois planos são perpendiculares entre si.

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