Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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Enunciado

O Comitê organizador de um congresso científico contratou 5 hotéis da cidade onde vai se realizar esse evento para hospedarem os 1000 congressistas inscritos. Cada um desses hotéis só têm quartos individuais e só poderá hospedar os participantes do congresso durante esse período. Admita que cada congressista escolherá de forma aleatória para qual dos 5 hotéis ele vai se dirigir. O Hotel X é um desses 5 hotéis e tem capacidade para acomodar 210 pessoas. (a) Qual a probabilidade de que o Hotel X consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?

Passo 1

O enunciado diz que os congressistas vão escolher de forma aleatória em qual hotel vão se hospedar entre os 5 hotéis totais, então a probabilidade do Hotel X ser escolhido por um congressista é de 1 em 5 , ou seja:

p = 1 5 = 0,2

Vamos chamar essa aí da nossa probabilidade de sucesso, que ocorre quando um congressista se hospeda no Hotel X .

Nós vamos ter 1000 congressistas que podem se hospedar ou não no Hotel X , ou seja, estão sujeitos a um sucesso (se hospedar) e a um fracasso (não se hospedar). E qual distribuição que segue essa descrição? Várias repetições de experimento do tipo sucesso ou fracasso? É uma Binomial, certo?! E os parâmetros da nossa Binomial são justamente o p que calculamos (a probabilidade de sucesso) e os 1000 congressistas (número de repetições).

Então denotando o número de congressistas que se dirigem ao Hotel X por H :

H ~ B i n o m i a l ( p , n )

H ~ B i n o m i a l ( 0,2 , 1000 )

E o que a questão pede é a probabilidade do Hotel X conseguir acomodar todos os congressistas que o procurarem, lembrando que eles podem acomodar um total de 210 pessoas, ou seja:

P ( H ≤ 210 )

Queremos que o número de congressistas que procurarem o hotel não ultrapasse a lotação máxima, para que assim todos sejam acomodados!

Passo 2

Mas calcular isso aí pela distribuição Binomial vai ser chatinho, hein! Vamos lembrar aqui então de que quando temos uma Binomial com mais de 30 repetições, podemos aproximá-la por uma distribuição Normal, então:

H ~ N o r m a l ( μ , σ 2 )

Onde μ e σ 2 são a esperança e variância da Binomial. Elas são dadas pelas seguintes fórmulas:

μ = n p = 1000 × 0,2 = 200

σ 2 = n p 1 - p = 1000 × 0,2 × 1 - 0,2 = 160

Então:

H ~ N o r m a l ( 200,160 )

Passo 3

Agora antes de calcularmos a probabilidade, temos que lembrar que, como fizemos essa aproximação, devemos corrigir o erro de continuidade!

P H ≤ 210 b i n o m i a l → P H ≤ 210 + 0,5 n o r m a l

Então queremos calcular:

P H ≤ 210,5

Padronizando, pois aproximamos pela Normal:

P Z ≤ 210,5 - 200 160 = P Z ≤ 0,83

Procurando esse valor na tabela da Normal:

P Z ≤ 0,83 = 0,7987

Resposta

79 , 9 %

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