Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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Enunciado

Em um determinado município a prefeitura está considerando a possibilidade de adotar um pacote de medidas que visam proteger o ecossistema da região. Foram sorteadas ao acaso 30 habitantes desse município para compor uma Comissão que irá examinar esse assunto. O critério de decisão é adotar o pacote se pelo menos K membros da Comissão se manifestarem favoravelmente. Admita que 75% dos habitantes do município são favoráveis ao pacote.

(a) Calcule a probabilidade de que ele seja aprovado, se K   =   25

Passo 1

Cada integrante da comissão vai poder ser favorável ou não ao pacote (sucesso x fracasso). E temos 30 integrantes, então esse experimento de sucesso x fracasso vai ter 30 repetições. Opa! Estamos numa Binomial, certo? Os parâmetros vão ser:

p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o →   p = 0,75

Já que a chance de um habitante ser favorável ao pacote é de 75 % . E o outro parâmetro:

n º   d e   r e p e t i ç õ e s → n = 30

Então denotando o número de integrantes favoráveis por X :

X ~ B i n o m i a l ( 0,75 ; 30 )

E queremos calcular a probabilidade do projeto ser aprovado, ou seja, de pelo menos 25 integrantes serem a favor:

P ( X ≥ 25 )

Passo 2

Como temos n = 30 , podemos aproximar essa Binomial por uma Normal, onde os parâmetros são a esperança e variância da Binomial, dadas por:

μ = n p = 0,75 × 30 = 22,5

σ ² = n p 1 - p = 5,625

Então a aproximação fica:

X ~ N o r m a l ( 22,5 ; 5,625 )

Mas precisamos corrigir o erro de continuidade da probabilidade que queremos antes de padronizá-la:

P X ≥ 25 b i n o m i a l → P X ≥ 25 - 0,5 n o r m a l

Então vamos padronizar:

P ( X ≥ 24,5 )

P Z ≥ 24,5 - 22,5 5,625 = P ( Z ≥ 0,84 )

Usando a probabilidade complementar:

P Z ≥ 0,84 = 1 - P ( Z < 0,84 )

Procurando esse cara na tabela da normal vemos que:

P Z ≥ 0,84 = 1 - 0,7995 = 0,2005

Resposta

20,05 %

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