Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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Enunciado

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de N , a esperança de N e a variância de N . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, P ( N ≥ 9 ) .

Passo 1

Bom, agora é como se fossemos representar esse experimento 30 vezes. → n = 30

E só temos duas possibilidades: sucesso, que é quando não acontecem desintegrações nesse intervalo, e fracasso quando acontecem.

Precisamos então descobrir a probabilidade do sucesso, ou seja, de não haver desintegração antes de 6 segundos!

Passo 2

Primeiro a gente sabe que 1 minuto tem 60 segundos.

Se pra 60 segundos →   λ = 10

Então para 6 segundos   →   λ = 1

Então nossa nova variável X será.

X   ~   P o i s s o n   ( λ = 1 )

Se a gente quer que não aconteça desintegração nesse tempo, então temos que calcular P ( X = 0 ) .

Usando a fórmula de Poisson.

P X = 0 = e - 1 . 1 0 0 !

P X = 0 = e - 1

P X = 0 = 0,3679

Passo 3

Beleza, então a probabilidade de sucesso é:

p = 0,3679

Então, para N , a gente tem um caso de Binomial.

N   ~   B i n   ( 30 ; 0,3679 )

Então a função de probabilidade genérica pra N é:

P N = k = 30 k . 0,3679 k . 0,6321 30 - k     ,     p a r a   k = 0 , 1,2 , 3 , … , 30

Passo 4

Calcular E ( N ) e V a r ( N ) .

Tranquilo, só aplicar as fórmulas da binomial.

E N = n p

E N = 30 × 0,3679 = 11,037

V a r N = n p 1 - p

V a r N = 30 × 0,3679 × 0,6321 = 6,9765

Passo 5

Bom, o que a gente vai ter que fazer é aquela aproximação da Binomial pela Normal.

Com isso, a gente vai ter que:

N   ~   N o r m a l   μ , σ 2

Onde:

μ = E N = 11,037

σ ² = V a r N = 6,9765

Passo 6

Vamos calcular P N ≥ 9 . Fazendo o processo de padronização da Normal e levando em consideração a correção da continuidade.

P N ≥ 9 = P Z > 8,5 - 11,037 6,9765

= P Z > - 0,96

= P Z < 0,96      

= Φ 0,96                      

Procurando na tabela, você vai encontrar:

= 0,8315                          

Resposta

c   E N = 11,037     ,     V a r N = 6,9765     ,     P N ≥ 9 = 0,8315

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