Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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Enunciado

O tempo de travessia T de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores 10 , 15 e 30 minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretanto, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for T = 30 . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade 1 / 2 , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo 20 % de atrasos por ano.

Calcule a probabilidade de que, num ano de trabalho, Carlos não consiga cumprir com a política de tolerância da empresa com respeito a atrasos, admitindo que haja 300 dias de trabalho por ano. Você acha que Carlos conseguirá se manter no emprego?

Passo 1

Vamos considerar 300 dias de trabalho... pra ele não cumprir a política de tolerância da empresa ele tem que faltar mais do que 20 % dos dias...

20 % × 300 = 60   d i a s

Se:

X → n º   d e   f a l t a s   e m   300   d i a s

Pra ele ser demitido, a gente calcula a prob:

P X > 60 =   ?

Beleza?

Passo 2

Vamos identificar qual a distribuição de X então...

A gente tem um total de 300 dias e sabe que a prob. dele se atrasar em qualquer um dos dias é 1 / 6 que foi o que a gente calculou em (a).

Se eu quero medir o número de dias que ele vai faltar dentre os 300 , eu estou repetindo o experimento de um dia trezentas vezes, concorda? Com a mesma prob. 1 / 6 de sucesso (se atrasar). Isso é Binomial!

X   ~   B i n o m i a l   300   ; 1 6

Passo 3

Só que nosso n = 300 é muito grande... quando isso acontece, a gente pode aproximar a binomial pela Normal, tá lembrado disso?

Com:

E X = μ = n p

μ = 300 × 1 6 = 50

E:

σ 2 = n p 1 - p

= 300 × 1 6 × 5 6 = 250 6

Daí:

X   ~   N o r m a l 50   ; 250 6

E vamos calcular P X > 60 ? Não né? Lembra? Correção de continuidade.

Vamos calcular P X > 60 + 0,5 .

Passo 4

Agora sim podemos calcular:

P X > 60,5 =   ?

Padronizando:

= P Z > 60,5 - 50 250 6

= P Z > 1 , 63

Usando nossos conhecimentos da Normal:

= 1 - P Z < 1,63

Olhando na tabela:

P Z < 1,63 = 0,9 484

Daí:

P X > 60,5 = 1 - 0,9484

= 0,0 516

Resposta

  0,0 516

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