Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

Ver Teoria

Enunciado

Todas as receitas de analgésico que chegam a um ambulatório médico prescrevem aspirina (com 60% de probabilidade) ou dipirona sódica (com 40% de probabilidade). Num determinado dia há em estoque 70 comprimidos de aspirina e 50 comprimidos de dipirona sódica. Se nesse dia são prescritas 100 receitas de analgésicos, calcule:

(a) A média e o desvio padrão do número de prescrições de aspirina. Indique a expressão matemática para o modelo probabilístico desta variável;

(b) A probabilidade aproximada de todas as 100 receitas serem atendidas.

Passo 1

a)

Vamos representar o número de prescrições de aspirina por X :

X : n º   d e   p r e s c r i ç õ e s   d e   a s p i r i n a

Podemos analisar o experimento da seguinte forma: toda vez que uma receita é inscrita, vamos ter a possibilidade de ser prescrita uma aspirina (sucesso), ou uma dipirona (fracasso), o que é um experimento de Bernoulli. Mas vamos ter 100 receitas, ou seja, esse experimento se repete 100 vezes.

Podemos então falar que X , o número total de aspirinas prescritas, ou seja, o número de sucessos ao final dessas 100 repetições de Bernoulli, vai seguir uma distribuição Binomial! Com probabilidade de sucesso p = 0,6 e repetições n = 100 :

X ~ B i n ( 0,6 ; 100 )

A esperança e a variância de uma Binomial são dadas por fórmulas, vamos calculá-las:

E X = n p = 100 0,6 = 60

V a r X = n p 1 - p = 100 0,6 1 - 0,6 = 24

Então o desvio padrão é:

D P X = 24 = 4,9

E a expressão da probabilidade da binomial é dada por:

P X = x = n x 0,6 x 1 - 0,6 100 - x

Passo 2

b)

Como n = 100 > 30 , nós estamos num caso perfeito de aproximação da binomial pela normal. Então agora vamos falar que:

X b i n o m i a l ≈ Y n o r m a l

E os parâmetros de Y são dados justamente pela esperança de variância de X que já calculamos:

Y ~ N o r m a l ( 60 ; 4,9 2 )

E a probabilidade que queremos é de todas as prescrições serem atendidas. Nós temos 50 comprimidos de dipirona, e 70 de aspirina. Então para as 100 receitas serem prescritas, temos duas possibilidades extremas: 50   f o r e m   d i p i r o n a   &   50   f o r a m   a s p i r i n a

30   f o r e m   d i p i r o n a   &   70   f o r e m   a s p i r i n a

Dentro do nosso estoque, essas são as combinações máximas que podemos fazer (usar todo o estoque de uma das medicações e completar o restante das receitas com a outra medicação).

E essas duas possibilidades limitam o nosso número de aspirinas prescritas, certo? Esse número vai ser sempre igual ou estar entre 50 e 70 . Então, a probabilidade de todas as prescrições serem atendidas é a mesma que:

P ( 50 ≤ X ≤ 70 )

Como X é uma v.a. discreta aproximado pela Normal, fazemos a correção do erro de continuidade para trabalhar com Y :

P 50 ≤ X ≤ 70 = P 50 - 0,5 ≤ Y ≤ 70 + 0,5 = P ( 49,5 ≤ Y ≤ 70,5 )

Padronizando os dois lados dessa probabilidade:

P 49,5 - 60 4,9 ≤ Z ≤ 70,5 - 60 4,9 = P - 2,14 ≤ Z ≤ 2,14 = P Z ≤ 2,14 - P ( Z ≤ - 2,14 )

Mas para nos livrarmos desse negativo, invertemos o sinal :

= P Z ≤ 2,14 - P Z > 2,14 = P Z ≤ 2,14 - ( 1 - P Z ≤ 2,14 )

= 0,9839 - 1 - 0,9838 - 0,9676

E essa aí é a probabilidade de todas as receitas serem prescritas!

Resposta

a)

E X = 60

D P X = 4,9

P X = x = n x 0,6 x 1 - 0,6 100 - x

b)

0,9676

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que X seja um variável aleatória de Poisson, com uma média igual a 64. Aproxime as seguintes probabilidades: P ( X72 ) P ( X64 ) P ( 60X ≤ 68 )
Suponha que X seja uma variável aleatória de Poisson, com λ = 6 .Calcule a probabilidade exata de X ser menor que 4Aproxime a probabilidade de X ser menor que 4 e compare-a ao resultado do item (a).Ap
Suponha que o número de partículas de asbestos em uma amostra de um centímetro quadrado de poeira seja uma variável aleatória de Poisson, com uma média de 1000. Qual é probabilidade de que 10 centímet
Um impressora de alta capacidade imprime páginas com pequenos erros de qualidade de impressão, em um teste de 1000 páginas de texto, de acordo com uma distribuição de Poisson, com média de 0.4 por pág
Um produto eletrônico para escritório contém 5000 componentes eletrônicos. Suponha que a probabilidade de cada componente operar sem falhar durante a vida útil do produto seja 0.999 e suponha que os c