Exercícios Resolvidos de Assíntotas

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Enunciado

Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Passo 1

Opa, tudo certinho? Espero que sim! Vamos seguir com nossos estudos!

Bora lá começar então pelas assíntotas horizontais. Pra encontra-las, basta fazer os limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Pra que a assíntota exista, o limite deverá ser igual à um valor finito e esse valor será nossa assíntota.

Para calcular esses limites, podemos organizar melhor a função fatorando no numerador e o denominador:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Pra isso, vamos colocar x 2 em evidencia em cima e embaixo:

= lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 + 4 x + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2

Assim, podemos cortando os x 2 , e teremos:

= lim x → ± ∞ ⁡ 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2

Agora podemos aplicar o limite de x → ± ∞

1 + 4 ± ∞ + 2 ± ∞ 2 1 - 1 ± ∞ 2

Substituindo x → ± ∞ nas frações, teremos n ú m e r o ∞ = 0 . Assim:

= 1 + 0 + 0 1 - 0 = 1

Perfeito! Chegamos à conclusão então que y = 1 é uma assíntota vertical

Passo 2

Agora pra fechar a questão a gente parte para as assíntotas verticais.

Aqui vamos fazer os limites laterais e descobrir para que valores x teremos o limite da função indo para ± ∞ .

Mas para achar quais valores de x vamos usar, olha bem a função:

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Como ela é uma fração, podemos desconfiar que o limite irá para ± ∞ quando o denominador for para zero.

Então vamos fazer os limites laterais exatamente pros pontos que zeram o denominador de f x , isto é, x = ± 1 .

Então x = 1 e   x = - 1 são possíveis pontos de assíntotas verticais!

Passo 3

Vamos testar. Para x = - 1

lim x → - 1 - ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= - 1 0 + = - ∞

lim x → - 1 + ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= - 1 0 - = + ∞

Show, deu infinito, então x = - 1 é assíntota vertical!!

Passo 4

E pra x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= 7 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= 7 0 + = + ∞

Show, também deu infinito, então x = 1 também é uma assíntota vertical.

Assim encontramos todas as nossas assíntotas.

Resposta

Assíntota horizontal y = 1

Assíntotas verticais x = 1 e x = - 1