Exercícios Resolvidos de Assíntotas

Ver Teoria

Enunciado

Determine todas as assíntotas ao gráfico de

f x = e x e x - 1

Passo 1

Fala aiiii! Esse exercício aí parece mais sinistro, mas fica tranquilo que vai ficar de boinhas com essa explicação aqui

Procuramos as assíntotas da seguinte maneira: as assíntotas horizontais se relacionam com o limite de f quando x → ± ∞ , e as assíntotas verticais se relacionam com as descontinuidades quando são pontos fora do domínio de f ( x ) que levam a função para ± ∞ .

Como nossa função é uma fração, o domínio de f ( x ) é representando por todos os números reais, menos aqueles que zeram o denominador. Para encontrar os valores de x que estão fora do domínio faremos:

e x - 1 = 0

e x = 1 → x = 0

Logo, D o m = R - 0 . Isso indica que o zero é uma possível assíntota.

Passo 2

Para saber se o zero realmente é uma assíntota, vamos analisar os limites laterais da função ( l i m x → 0 +   e l i m x → 0 - ) , e ver se isso fará com que a função vá pra ± ∞ .

Aplicando os limites laterais:

lim x → 0 + ⁡ e x e x - 1 = 1 0 = + ∞

lim x → 0 - ⁡ e x e x - 1 = 1 0 = - ∞

Logo, x = 0 é assíntota vertical!

Passo 3

Agora vamos ver as horizontais!

Nesse caso, vamos fazer o limite x → ± ∞ . Se o limite existir e for para um valor finito, esse valor será nossa assíntota.

lim x → + ∞ ⁡ e x e x - 1

Se substituirmos, temos

e ∞ e ∞ + 1   = ∞ ∞

Xiii, deu uma indeterminação!

Então, vamos ter que dar uma mexidinha ai!Uma boa forma de nos livramos do problema da indeterminação é somar e diminuir 1 do numerador, e aí a gente fica com isso aqui:

lim x → + ∞ ⁡ e x - 1 + 1 e x - 1

Que a gente pode separar em duas frações

lim x → + ∞ ⁡ e x - 1 e x - 1 + 1 e x - 1

Na primeira fração, podemos cortar e x - 1   dos dois lados, ficando com

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 e x - 1

Aqui vamos aplicar o limite novamente e ver se isso resolveu o problema

Substituindo x por + ∞ ,   temos

= 1 + 1 e ∞ - 1 = 1 + 1 ∞

Como 1 ∞ = 0 , temos:

= 1

Oba! Deu certo. E como é um valor finito, o 1 será uma assíntota horizontal!

Agora para x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x e x - 1 =

Quando temos e - ∞ = 1 e ∞ , que tende a zero!! Então podemos substituir direto na equação, ficando com:

e - ∞ e - ∞ - 1

= 0 0 - 1 = 0

Também deu certo. E temos outra assíntota horizontal.

Assim, são duas assíntotas horizontais, y = 0 e y = 1

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 0

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0 ;     y = 1