Exercícios Resolvidos de Assíntotas

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Enunciado

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Oiii, estamos seguindo com as nossas questões de assíntotas, cada vez um passo mais próximo de ficar fera nesse assunto.

As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto dos pontos de descontinuidade. No caso da função dada, isso ocorre quando o denominador é nulo, pois isso fará com que a função exploda para ± ∞ .

Lembrando que a assíntota vertical é algo tipo assim

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

Então, acharemos o valor da assíntota descobrindo a qual valor o x se aproxima quando o denominador é igual a zero:

2 x 2 - 3 x = 0

Para resolver essa equação, podemos colocar x em evidência:

x 2 x - 3 = 0

Temos aqui um produto dando zero. Opa, nesse caso a gente tem dois pontos onde esse denominador zera! São eles?

x = 0

2 x - 3 = 0

x = 3 2

Podemos ter assíntotas verticais em x = 0 e x = 3 2 . Vamos verificar.

Passo 2

Vamos começar verificando o x = 0 , analisando os limites laterais l i m x → 0 - e l i m x → 0 + e vendo se esse limite realmente explode indo para ± ∞ , nesse valor:

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Para tentar dar um jeito, vamos dividir em cima e embaixo por x e simplificar:

= lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 x + 1 x 2 x 2 x - 3 x x

= lim x → 0 - ⁡ 2 x + 1 x 2 x - 3

Quando a gente tem um número dividido por zero pela esquerda ele fica negativo e tende a menos infinito, então temos:

= 0 + - ∞ 0 - 3

= - ∞ - 3 = + ∞

Agora para x → 0 +

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 x + 1 x 2 x 2 x - 3 x x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x + 1 x 2 x - 3

= 0 + ∞ 0 - 3

= ∞ - 3 = - ∞

Show! Deu ± ∞ ,   portanto, x = 0 é assíntota vertical.

Passo 3

Agora vamos verificar o x = 3 2 pela esquerda e pela direita.

lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

= lim x → 3 2 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 x - 3

= 9 2 + 1 3 2 ( 0 - ) = - ∞

lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

= lim x → 3 2 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 x - 3

= 9 2 + 1 3 2 ( 0 + ) = + ∞

O limite também deu ± ∞ ,   então x = 3 2 também é assíntota vertical.

Passo 4

Certo, agora vamos procurar as assíntotas horizontais.

A assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

Então vamos lá, começando por x → - ∞

l i m x → - ∞ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

Simplificamos dividindo tudo por x 2

= l i m x → - ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 2 x 2 x 2 - 3 x x 2

= l i m x → - ∞ 2 + 1 x 2 2 - 3 x

E aplicando o limite:

= 2 + 0 2 - 0 = 2 2 = 1

Show, achamos um valor finito! Vamos ver agora para x → + ∞

l i m x → + ∞ 2 x 2 + 1 2 x 2 - 3 x

= l i m x → + ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 2 x 2 x 2 - 3 x x 2

= l i m x → + ∞ 2 + 1 x 2 2 - 3 x

= 2 + 0 2 - 0 = 2 2 = 1

Achamos novamente um valor finito. Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 1 .

Resposta

Verticais:

x = 0

x = 3 2

Horizontais:

y = 1