Exercícios Resolvidos de Assíntotas

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Enunciado

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Passo 1

Opaa, fala aí! Vamo que vamo fazer mais uma questão de assíntotas!

Antes de qualquer coisa, vamos analisar o numerador e denominador de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis. Isso vai facilitar os cálculos mais a frente, então vamos simplificar um pouco.

Começando com o numerador:

x 2 - 5 x

Podemos colocar x em evidencia, assim:

x ( x - 5 )

Agora para o denominador, vamos fazer Baskhara

x 2 - 6 x + 5

Sendo a = 1 , b = - 6 e c = 5

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - - 6 ± - 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 ⋅ 1

Isso fica

6 ± 16 2

Que nos dá duas raízes

r 1 = 5     e     r 2 = 1

Com as raízes em mãos, podemos reescrever nosso polinômio usando a x - r 1 ( x - r 2 )

Então nosso denominador se transforma em:

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Com isso, podemos reescrever f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5

Então, simplificando, temos:

f x = x x - 1

Bem mais de boinhas, né??

Maaas, mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando calculamos o limite de x → ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = - 1 0

= - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

Mas você deve tá se perguntando “e que raios aconteceu com o 5 que também ta fora do domínio??”

É normal ficar nessa dúvida, então vou te mostrar o que aconteceu com o 5 , a gente viu que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x → 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x x - 1 = 5 4

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x x - 1 = 5 4

Passo 3

Agora para as assíntotas horizontais

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1