Exercícios Resolvidos de Assíntotas

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Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função f x = 6 x + 1 x - 1 .

Passo 1

Opa, tudo bom? Vamos ver quem são essas assíntotas!

Beleza pessoal, pra começar essa questão a gente tem que lembrar das definições de assíntotas horizontais e verticais.

Primeiro vamos lembrar da aparência de cada uma delas com um exemplinho:

A imagem já ajuda bastante a entender as definições:

  • A assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

lim x → ± ∞ ⁡ f x =   ?

Repare que o gráfico da função quase toca na reta horinizal, mas isso nunca acontece, mas quanto maior for o nosso valor de x , mais próxima dessa reta nossa função estará. Então, quando queremos descobrir qual a assíntota horizontal, o que queremos na verdade é saber qual o valor dessa reta, que é o limite da função quando x → ± ∞ .

  • E a assíntota vertical acontece nesse aqui:

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

lim x → ? ⁡ f x = ± ∞

Agora a pergunta já será diferente, o que queremos saber é, para que valor o x tende quando nossa função vai para ± ∞ . Esse valor de x será a reta vertical, que quase encosta no gráfico da nossa função.

Passo 2

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais, que geralmente são mais fáceis de encontrar.

É só calcular o limite quando x tende a mais/menos infinito. Começamos com + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 1 x - 1

Isso é o limite da divisão de dois polinômios. O que a gente pode fazer nesses casos? Uma boa tentativa é dividir tudo pela maior potência.

Nesse caso a maior potência é x 1 = x , então vamos dividir por x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x x + 1 x x x - 1 x

l i m x → + ∞ = 6 + 1 x 1 - 1 x

Agora o que acontece quando x tende ao infinito?

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x

Quando x fica muito grande, aquelas duas frações vão tender a zero! Então:

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

E o resultado vai ser exatamente o mesmo com - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

Então a função tem duas assíntotas horizontais em y = 6 :

Passo 3

Agora vamos procurar as assíntotas verticais. Esse tipo de assíntota aparece quando a função “explode” para cima ou para baixo perto de algum ponto:

f x ⁡ = 6 x + 1 x - 1

Como que uma função pode explodir desse jeito? Bom, ou o numerador fica muito grande, ou o denominador fica muito pequeno.

O numerador só fica muito grande quando x tende ao infinito, mas a gente já viu que isso caiu numa assíntota horizontal.

Então como a gente pode fazer pro denominador ficar muito pequeno? Pra isso, é só ver qual valor de x faz ele se aproximar de zero!

x - 1 = 0

x = 1

Passo 4

Mas pra provar mesmo que a gente tem uma assíntota nesse ponto, temos que calcular o limite de x tendendo a ele:

lim x → 1 ⁡ 6 x + 1 x - 1

E para esse limite a gente vai ter que analisar os limites laterais, ou seja l i m x → 1 - e l i m x → 1 +

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ 6 x + 1 x - 1 = - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ 6 x + 1 x - 1 = + ∞

Assim, provamos que a função tem duas assíntotas verticais em x = 1 .

Passo 5

Pra garantir que não vai sobrar dúvida, vamos fazer o gráfico da função, mostrando as assíntotas verticais em x = 1 e as horizontais em y = 6 :

Resposta

A função tem assíntotas horizontais em y = 6 , e assíntotas verticais em x = 1 .