Exercícios Resolvidos de Assíntotas

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Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais para:

x 2 y - 2 x 2 - y - 2 = 0

Passo 1

Fala aiii! Bora continuar estudando pra ficar fera nessa matéria!

Opa, mas o que é isso? tem um   y aí no meio, o que a gente faz agora?

A primeira coisa a fazer é organizar essa função escrevendo y = f x :

E para isso, começaremos separando o que tem y para um lado e o que não tem pro outro:

x 2 y - y = 2 x 2 + 2

Agora vamos colocar y em evidência!

y x 2 - 1 = 2 ( x 2 + 1 )

Dividindo os dois lado por ( x 2 - 1 ) , temos:

y = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Pronto, agora sim, temos uma função escrita de maneira mais familiar.

E como ela é uma fração, é bom analisar logo o seu domínio.

Seu denominador não pode zerar, como o que acontece em x = 1 e em x = - 1 . Com isso seu domínio será, portanto:

D o m :   R - { 1 , - 1 }

Passo 2

Para ver quem são as assíntotas horizontais faremos o limite para x → ± ∞ na função:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Aplicando diretamente o limite, cairemos em uma indeterminação do tipo ∞ ∞ .

O jeito é colocar x 2   em evidência

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 ⋅ 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

Cortando esses safadinhos, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2

Show, agora a gente pode substituir, lembrando que 1 ∞ = 0

= 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Como o limite nos deu um valor finito ele será nossa assíntota horizontal.

Agora para x → - ∞ , vamos fazer algo bem parecido

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2

= 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais sendo y = 2 .

Passo 3

Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em ± 1 como vimos lá atrás) e lançar os limites laterais ali:

Começando com x = 1

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Pelo lado direito, temos um valor de x indo para 1 , porém um pouquinho maior que 1, o que fará com que o denominador seja positivo:

2 1 2 + 1 1 2 - 1

Assim teremos:

4 0 + = + ∞  

Agora pelo lado esquerdo, termos um valor de x indo para 1 , mas agora um pouquinho menor que 1 , o que fará com que o denominador seja negativo:

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

2 1 2 + 1 1 2 - 1

4 0 - = - ∞  

Com isso, vemos que 1 é uma assíntota vertical.

Agora para x = - 1 (atenção que com o sinal trocado, temos uma pegadinha aqui, se liga)

l i m x → - 1 + x = - 0,99999 …

l i m x → - 1 - = - 1,00000 … 1

Então, para x = - 1 . Pelo lado direito:

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1

2 - 1 2 + 1 - 1 2 - 1 = - ∞

E pelo lado esquerdo:

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1

2 ( - 1 ) 2 + 1 - 1 2 - 1 = + ∞

Feito isso, sabemos que temos assíntotas verticais em x = 1 e x = - 1

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s : x = 1   ; x = - 1

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 2