Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Considere V = R 3 . Sejam u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Verifique se as funções abaixo determinam produtos internos sobre V.

(a) u , v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

(b) u , v = 2 x 1 2 x 2 2 + 3 y 1 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 2

Passo 1

Lembra que para uma função f : V → R ser um produto interno, ela tem que satisfazer as seguintes propriedades:

i) u , v = v , u

ii) u + w , v = u , v + w , v

iii) λ u , v = λ u , v

iv) u , u > 0   ∀   u ≠ 0   e   u , u = 0 ⇔ u = 0

A princípio a gente teria que testar cada uma dessas propriedades pra cada função que foi definida no enunciado.

Mas também podemos analisar as funções dadas antes de sair fazendo conta e tentar ver qual das propriedades pode não ser satisfeita.

Se acharmos uma que não é satisfeita, já sabemos que a função não é produto interno.

Passo 2

(a) Como aparece um sinal de menos nesse produto interno, vamos analisar a propriedade iv para a função dada no item (a):

u , u = x 1 x 1 + y 1 y 1 - z 1 z 1 = x 1 2 + y 1 2 - z 1 2

Fazendo:

u , u = 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 = 0

z 1 2 = x 1 2 + y 1 2

Ou seja, existem outros vetores além do vetor nulo que obedece u , u = 0 , desde que eles satisfaçam z 1 2 = x 1 2 + y 1 2 .

Por exemplo, se pegamos o vetor 1,0 , 1 :

1,0 , 1 , ( 1,0 , 1 ) = 1 2 + 0 2 - 1 2 = 0

Então a propriedade iv não é satisfeita e a função dada não é produto interno.

Passo 3

(b) Como a função dada envolve coordenadas ao quadrado, vamos ver o que acontece se a gente multiplica um dos vetores por um escalar λ :

λ u , v = 2 λ 2 x 1 2 x 2 2 + 3 λ 2 y 1 2 y 2 2 + λ 2 z 1 2 z 2 2

Mas isso não é a mesma coisa que:

λ u , v = 2 λ x 1 2 x 2 2 + 3 λ y 1 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2 2

Então a propriedade iii não é satisfeita e essa função também não é produto interno.

Resposta

(a) Não é produto interno.

(b) Não é produto interno.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2