Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Considere o espaço vetorial real C ( a ,   b ) . Mostre que a aplicação

f ,   g = ∫ a b f x g x d x             ∀   f ,   g   ∈   C ( a ,   b )

representa um produto interno.

Passo 1

E vamos de demonstração dos axiomas de produto interno hahaha

Simetria:

⟨ f ,   g ⟩ = ⟨ g ,   f ⟩

∫ a b f x g x d x = ∫ a b g x f x d x

Ora, sabemos que a multiplicação é uma operação comutativa, então f x g x = g x f x , e aí o resultado das integrais com certeza vai ser o mesmo, certo? Então o axioma da simetria ta provado :D

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ f ,   g ⟩ = λ ⟨ f ,   g ⟩

∫ a b λ f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x

Lá de cálculo 1, sabemos que uma constante pode ser tirada de dentro da integral. Opa! λ é uma constante né? Então vamos tirar ela da integral do lado esquerdo:

λ ∫ a b f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x

E está provada a linearidade na multiplicação :P

Linearidade na soma:

Seja o polinômio h ( x ) :

⟨ f + h ,   g ⟩ = ⟨ f ,   g ⟩ + ⟨ h ,   g ⟩

∫ a b f x + h x . g x d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Aplicando a distributividade do lado direito da igualdade:

∫ a b f x g x + h x g x   d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Em cálculo 1, também vimos que se tivermos soma dentro de uma integral, podemos separar em duas integrais, assim:

∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Então o axioma da linearidade na multiplicação também é satisfeito, aeee!

Passo 3

Positividade:

f ,   f > 0

∫ a b f x f x d x > 0

∫ a b f x 2 d x > 0

Qualquer valor ao quadrado é positivo, certo? Além disso, como nosso conjunto é dado como C ( a ,   b ) , temos que b > a , portanto, na resolução da integral, teremos algo tipo 8 - 4 ao invés de 4 - 8 (um exemplo ta? hihi) e então o nosso resultado vai ser positivo :)

Também poderíamos ver isso por análise gráfica. A integral representa a área de um gráfico, e a área de f x 2 entre a e b sempre vai ser positiva.

Agora vamos provar que

f ,   f = 0 ⇔ f = 0

∫ a b f x f x d x = 0

∫ a b f x 2 d x = 0

Para que essa integral seja 0 no intervalo [ a ,   b ] , f x só pode ser 0.

E estão provados os axiomas :D

Resposta

Demonstração.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2