Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Seja V o espaço linear real das matrizes n × n com entradas reais. Mostre que

A ,   B = t r ( A B T )

define um produto interno em V , onde t r ( M ) , o traço de M , é a soma dos elementos da diagonal principal de M .

Passo 1

E lá vamos nós testar os 4 axiomas do produto interno hehe

Começando pela simetria:

A ,   B = B ,   A

t r A B T = t r ( B A T )

A diagonal principal de A . B T é a mesma diagonal principal de B . A T , então a soma dos seus elementos também vai ser igual certo? Hehe, logo, de fato t r A B T = t r ( B A T )

E então o axioma da simetria é satisfeito :D

Passo 2

Vamos testar os axiomas de linearidade ok?

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ A ,   B ⟩ = λ ⟨ A ,   B ⟩

t r λ A B T = λ ( t r A B T )

Seja c 11 o elemento da linha 1 e coluna 1 da matriz A B T e c n n o elemento da última linha e coluna (aquele mais embaixo e mais à direita haha), o traço da matriz A B T vai ser c 11 + c 22 + … + c n n .

No caso desse axioma, do lado esquerdo temos λ multiplicando a matriz A B T inteira, do lado direito ele multiplica apenas a soma dos elementos da diagonal principal:

λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n = λ ( c 11 + c 22 + … + c n n )

Mas, fazendo a distributiva de λ do lado direito, a igualdade é comprovada:

λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n = λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja a matriz C

⟨ A + C ,   B ⟩ = ⟨ A ,   B ⟩ + ⟨ C ,   B ⟩

t r ( A + C ) B T = t r A B T + t r C B T

Aplicando distributividade do lado esquerdo:

t r ( A B T + C B T ) = t r A B T + t r C B T

Agora vamos raciocinar com um exemplo, dadas as duas matrizes genéricas a seguir:

F = x y w z G = a b c d

Temos que

t r F + G = t r x + a y + b w + c z + d = x + a + z + d

Enquanto

t r F + t r G = x + z + a + d

Opa, repara que t r F + G = t r F + t r G haha

Então, voltando lá em cima, matematicamente:

t r ( A B T + C B T ) = t r A B T + t r C B T

O axioma da linearidade é satisfeito :)

Passo 4

Positividade:

A ,   A > 0

t r A A T > 0

Na matriz A A T os elementos da diagonal principal sempre vai ser a soma de números ao quadrado, e o que sabemos sobre eles? Que sempre são positivos certo?

Então, certamente o traço da matriz vai ser uma soma de números positivos então vai ser positivo também :)

Agora vamos verificar se A ,   A = 0 ⇔ A = 0

t r A A T = 0

Para que a diagonal principal de A A T seja 0 , A só pode ser uma matriz nula, porque olha:

x y w z . x w y z = x . x + y . y x . w + y . z w . x + z . y w . w + z . z

x . x + y . y ⇔ x = 0     y = 0

w . w + z . z ⇔ w = 0     z = 0

Então, todos os axiomas estão verificados :D

Resposta

Demonstração.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2