Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Considere o espaço vetorial R 2 e a matriz diagonal D dada por:

D = 2 0 0 4 .

Mostre que a aplicação

x ,   y D = y T D x

define um produto interno em R 2 , considere os elementos de R 2 representados na forma de vetor coluna.

Passo 1

Antes de tudo, para provar todos os axiomas vamos usar como vetores coluna genéricos: x = a b e y = c d .

Agora bora lá provar os axiomas do produto interno né? Haha

Simetria:

x ,   y D = y ,   x D

y T D x = x T D y

Isso nos dá:

c d 2 0 0 4 a b = a b 2 0 0 4 c d

Multiplicando as matrizes:

2 c 4 d a b = 2 a 4 b c d

2 c a + 4 d b = 2 a c + 4 b d

Opa, a igualdade é verdadeira, então o axioma da simetria ta provado :)

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

λ x ,   y D = λ x ,   y D

y T D λ x = λ ( y T D x )

Desenvolvendo o lado esquerdo e substituindo o lado direito pelo resultado do passo 1:

c d 2 0 0 4 λ a λ b = λ 2 c a + 4 d b

2 c 4 d λ a λ b = λ 2 c a + λ 4 d b

Logo, temos que a igualdade é verdadeira:

2 c λ a + 4 d λ b = λ 2 c a + λ 4 d b

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja z = e f , temos:

x + z ,   y D = x ,   y D + z ,   y D

y T D λ x + z = y T D λ x + y T D λ z

2 c 4 d a b + e f = 2 c a + 4 d b + 2 c e + 4 d f

2 c a + e + 4 d ( b + f ) = 2 c a + 2 c e + 4 d b + 4 d f

Colocando 2 c e 4 d em evidência no lado direito, comprovamos a igualdade:

2 c a + e + 4 d ( b + f ) = 2 c a + e + 4 d ( b + f )

Então a linearidade ta provada :)

Passo 4

Positividade:

x ,   x D > 0

x T D λ x > 0

a b 2 0 0 4 a b > 0

2 a 4 b a b > 0

2 a 2 + 4 b ² > 0

Olha, a ² e b ² sempre vão ser positivos porque estão ao quadrado. Logo, 2 a 2 + 4 b ² também é sempre maior que 0 :D

E agora:

x ,   x D > 0 ⇔ x = 0

2 a 2 + 4 b ² = 0

Como temos a soma de números não negativos, pra que essa soma resulte em 0, eles só podem ser iguais a 0 certo? Logo, pra que isso aconteça, x = 0 0 .

Provamos todos os axiomas então :P

Resposta

Demonstração.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2