Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

Ver Teoria

Enunciado

Seja a função

f : R 2 × R 2 → M 1,1

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 → x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Mostre que f é um produto interno em R 2

Passo 1

Para mostrarmos que f é um produto interno basta verificarmos que ele satisfaz todos os axiomas.

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 2 , y 2 1 1 1 2 x 1 y 1

x 1 , y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 , y 2 x 1 + y 1 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 = x 2 x 1 + y 1 + y 2 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 + 2 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 , λ y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = λ x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

λ x 1 x 2 + y 2 + λ y 1 x 2 + 2 y 2 = λ x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3

x 1 + x 3 , y 1 + y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 + x 3 , y 3 1 1 1 2 x 2 y 2

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 2 + y 1 + y 3 x 2 + 2 y 2 =

= x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 + x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + 2 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 1 y 1 > 0

x 1 x 1 + y 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 > 0

x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 2 > 0

x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ✓

Prontinho, está mostrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2