Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Sejam V = R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 .

Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Passo 1

Bom, não tem jeito, vamos ter que testar todos os axiomas em todas as letras. Vamos lá então:

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = x 2 x 1 + 3 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

( λ x 1 ) x 2 + 3 ( λ y 1 ) y 2 = λ ( x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + 3 y 1 + y 3 y 2 = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + x 3 x 2 + 3 y 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 x 1 + 3 y 1 y 1 = x 1 2 + 3 y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + 3 y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ‼

Opa, temos um problema. O que esse axioma diz é que se o produto interno de um vetor com ele mesmo for zero, o vetor deve ser o vetor nulo.

No entanto, para esse produto interno, quando temos u , u = 0 , isso nos garante apenas que as duas primeiras coordenadas de u são iguais a zero. Logo poderíamos ter u = 0,0 , 4 .

Logo, essa função não é um produto interno pois não respeita o último axioma.

Passo 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

3 λ x 1 x 2 + 5 λ y 1 y 2 + 2 ( λ z 1 ) z 2 = λ 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

3 x 1 + x 3 x 2 + 5 y 1 + y 3 y 2 + 2 ( z 1 + z 3 ) z 2 =

= 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 + 3 x 3 x 2 + 5 y 3 y 2 + 2 z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ✓

Essa função de fato satisfaz todos os axiomas, então temos um produto interno.

Passo 3

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 = 2 x 2 2 y 2 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 2 2 z 1       ‼

Olhando bem pra essa equação, conseguimos ver que não necessariamente o lado direito da equação que achamos é igual ao lado esquerdo, certo?

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 2 λ y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2 = λ 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

2 λ 4 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ 2 z 1 2 z 2 = 2 λ x 1 2 y 1 2 + 3 λ x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2       ‼

Repara que do lado esquerdo temos 2 λ 4 x 1 2 y 1 2 enquanto do lado direito temos 2 λ x 1 2 y 1 2 ,   logo essa igualdade não é válida!

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

2 x 1 + x 3 2 y 1 + y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 + z 3 2 z 2 =

= 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 + 2 x 3 2 y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 3 2 z 2       ‼

Poxa, se a gente expandir aqueles quadrados ali do lado direito não vamos chegar no mesmo resultado do lado esquerdo, pois vão aparecer alguns termos cruzados. Então essa propriedade não é válida.

Positividade:

u , u > 0

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0       ‼ !

Repara que 5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 < 0 se x 1 = y 1 = 1 e z 1 = - 2 , por exemplo, então essa inequação de cara não é verdadeira!

u , u = 0 ⇔ u = 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Como temos um termo ao cubo, se z 1 3 = - 5 x 1 2 y 1 2 , então a inequação é verdadeira. E pra isso acontecer, não necessariamente esses termos são todos nulos!

Essa função, por outro lado, não respeita nenhum dos três axiomas!

Portanto, ela não é, de forma alguma, um produto interno.

Passo 4

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 - λ z 1 z 2 = λ x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 - z 1 + z 3 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 - z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 > 0       ‼

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Novamente, a função não é um produto interno pois falha nos dois últimos axiomas.

Passo 5

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 + λ z 1 z 2 - λ x 2 y 1 - λ x 1 y 2 =

= λ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 + z 1 + z 3 z 2 - x 2 y 1 + y 3 - x 1 + x 3 y 2 =

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 + z 3 z 2 - x 2 y 3 - x 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0     ✓

Essa é um pouco mais dicícil de reparar que é de fato verdade, então aqui vai uma ajudinha:

Sabemos que x 1 - y 1 2 > 0 . E x 1 - y 1 2 = x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2

Logo:

x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2 > 0 ⇒ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 = 0

x 1 - y 1 2 + z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Nesse caso, basta termos x 1 = y 1 e z 1 = 0 para que u , u = 0

Logo, também não é um produto interno pois falha no último axioma.

Resposta

a Não é produto interno. Falha no último axioma.

b É produto interno.

c Não é produto interno. Falha em todos os axiomas.

d Não é produto interno. Falha nos dois últimos axiomas.

e Não é produto interno. Falha no último axioma.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2