Exercícios Resolvidos de Balanço Integral de Massa

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Enunciado

No cotovelo de 180˚ da figura circula agua que é descarregada na seção 2 para a atmosfera. A pressão do medidor é P = 96   k P a . As áreas são A 1 = 2600   m m ² e A 2 = 650   m m ² , a velocidade é V 1 = 3,05   m / s . Calcule a força F x para segurar o cotovelo.

Passo 1

Bom, pra essa questão vai ser melhor se a gente ver o equacionamento antes de começar a resolver. Com ele a gente vai vendo o que podemos simplificar e como vamos resolver cada coisa!

Como o problema está pedindo pra gente a força no eixo x, já é um indicativo de que vamos usar a equação da conservação da quantidade de movimento!

d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V + ∫ S c ( t ) ρ v v - v ∞ ∙ n ^   d S =   ∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S + ∫ V c ( t ) ρ f m   d V

Passo 2

Vamos então ver o que que a gente pode cortar dai!

A gente vai considerar estado estacionário, porque o fluxo de água no cotovelo é contínuo, então não tem variação ao longo do tempo. Então, esse primeiro termo vai embora = 0 !

Fluido incompressível, então ρ = c o n s t a n t e .

v ∞ = 0 pois não tem nenhum fluido externo fazendo arraste de espécie.

E também vamos considerar f m = 0 , como se a gravidade não tivesse afetando nosso problema tanto assim, então o último termo vai embora também. (A gente pode fazer isso porque não tivemos nenhuma informação sobre esse termo).

Nosso balanço ficou então:

∫ S c t ρ v v ∙ n ^   d S =   ∫ S c t τ ∙ n ^   d S

Sendo que como temos duas áreas relevantes, a integral sobre a área vai ser a soma da integral pra A 1 e A 2 .

Passo 3

Vamos resolver cada termo então:

  ∫ S c t ρ v v ∙ n ^   d S = ∫ A 1 + A 2 ρ v v ∙ n ^   d S =   ρ V 1 2 A 1 + ρ V 2 2 A 2

Pela conservação de massas conseguimos achar V 2 :

A 1 V 1 = A 2 V 2

V 2 = 12,2   m / s

Assim:

∫ A 1 + A 2 ρ v v ∙ n ^   d S = - 24,18 + 96,75   N

Os sinais invertem porque o cotovelo faz 180˚ a gente orienta o vetor normal pra fora da superfície! Ou seja, pra A 1 a água está entrando e pra A 2 a água está saindo.

Passo 4

O outro termo é um pouco mais complicado porque tem o termo que a gente quer, então vamos ver como é que a gente olha pra ele:

∫ S c t τ ∙ n ^   d S = ∫ A 1 + A 2 + A P τ ∙ n ^   d S

A tensão nesse caso é a mesma coisa que pressão, e elas tem a mesma unidade. Múltiplicada pela área temos unidade de força!

∫ A 1 τ ∙ n ^   d S = P . A 1 = - 249,6   N

∫ A 2 τ ∙ n ^   d S = P . A 2 = 62,4   N

∫ A P τ ∙ n ^   d S = F x

Passo 5

Passo 6

Juntando tudo temos que:

- 24,18 + 96,75 =   - 2 49,6 + 62,4 + F x

Finalmente:

F x =   259,77   N  

Lembrando que o sinal é só questão de orientação das superfícies, se tivesse dado negativa nossa resposta a gente poderia responder em módulo

Resposta

F x =   259,77   N