Exercícios Resolvidos de Balanço Integral de Massa

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Enunciado

Dois discos planos de raio R são separados por uma distância b . O disco superior se move para baixo com velocidade constante V . O fluido entre os dicos é comprimido e escorre na direção radial. Determine a taxa volumétrica Q e a velocidade do fluido considerando o perfil de escoamento uniforme.

Passo 1

Bom, vamos então ver aquele passo a passo!

  1. Definir a geometria do problema: Volume de Controle e Superfície de Controle
  2. Montar o equacionamento do problema
  3. Fazer simplificações baseadas nas considerações que o problema te der
  4. Analisar a expressão termo a termo, usando essas simplificações
  5. Juntar tudo e resolver!

Passo 2

Vamos então definir a geometria do nosso problema!

O volume de controle vai ser então o espaço entre os dois discos de raio R, que vai ser um cilindro de altura b . V C = π R ² b ( t )

A superfície de controle vai ser uma só, é a superfície envolta do volume de controle, aonde o fluido está escoando. S C = 2 π R b ( t )

A gente não leva em consideração as superfícies de cima e de baixo do cilindro (que é como se fosse a parede do disco) porque ali não tem espécie atravessando, beleza?

Passo 3

Vamos montar o balanço de massa então:

d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V + ∫ S c A ( t ) ρ A v - v c ∙ n ^   d S = - ∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S + ∫ V c A ( t ) r A ˙   d V

Como no nosso caso não está acontecendo transporte de espécie por difusão e nem está acontecendo reação química, a nossa equação se reduz à equação de conservação de massa:

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V + ∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = 0

Outra simplificação que podemos considerar também é a densidade constante. Bora então resolver cada um desses termos!

Passo 4

Resolvendo o primeiro termo:

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V = ρ d d t ∫ V c ( t )   d V = ρ d V C d t = ρ d π R ² b ( t ) d t = ρ π R ² d b t d t = - ρ π R ² v

Pra resolver o segundo termo, consideramos v ∞ = 0 , já que não tem nenhum fluido externo fazendo arraste de matéria, quem está escoando é o próprio fluido que estava entre os discos mesmo. E vamo chamar a velocidade do fluido de v f pra não confundir com a velocidade do disco que está descendo. Sendo assim:

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = ∫ S c ( t ) ρ ( v f ∙ n ^ ) d S = ρ v f 2 π R b ( t )

Passo 5

Passo 6

Juntando tudo temos que:

ρ π R 2 v =   ρ v f 2 π R b ( t )

Logo:

v f = v R 2 b ( t )

Com isso podemos calcular a tava volumétrica!

Passo 7

Calculando a taxa:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Q =   ∫ S v f ^ · n ^   d S =   v R 2 b ( t ) x   2 π R b ( t )

Q = v π R ²

Resposta

v f = v R 2 b ( t )

Q = v π R ²